Endomorphismen mit bel. Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Di 26.12.2006 | | Autor: | frozy |
| Aufgabe | Welcher der folgenden Endomorphismen von IR² ist bezüglich einer beliebigen Basis durch die Matrix
( 1 2 )
( 0 0 )
dargestellt?
a) (x,y) -> (0,0)
b) (x,y) -> (x,-y)
c) (x,y) -> (x,y-x)
d) (x,y) -> (2y,2x)
e) (x,y) -> (x,0)
Es gibt nur eine mögliche richtige Antwort.
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Was soll mir "bezüglich einer beliebigen Basis" sagen?
Und wie gehe ich überhaupt vor?
Ich dachte, ich könnte das überprüfen, indem ich die Bilder der Basis (x,0) und (0,y) mir ansehe, was offensichtlich eine Basis des IR² ist für x,y ungleich 0. Dann erhalte ich aber : (x,2y).
Was mache ich falsch?
Vielen Dank,
Thorsten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Welcher der folgenden Endomorphismen von IR² ist bezüglich
> einer beliebigen Basis durch die Matrix
>
> ( 1 2 )
> ( 0 0 )
>
> dargestellt?
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> a) (x,y) -> (0,0)
> b) (x,y) -> (x,-y)
> c) (x,y) -> (x,y-x)
> d) (x,y) -> (2y,2x)
> e) (x,y) -> (x,0)
>
> Es gibt nur eine mögliche richtige Antwort.
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> Was soll mir "bezüglich einer beliebigen Basis" sagen?
>
> Und wie gehe ich überhaupt vor?
>
> Ich dachte, ich könnte das überprüfen, indem ich die Bilder
> der Basis (x,0) und (0,y) mir ansehe
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich habe mir zunächst die matrix angeschaut und bin zu dem Ergebnis gekommen: der Bildraum hat die Dimension 1. Die Dimension ist ja von der Wahl der Basen unabhängig.
Nun habe ich mir die vorgeschlagenene Abbildungen und deren Bildräume angesehen, und ich bin zu dem Ergebnis gekommen, daß nur ein Bildraum mit der Dimension 1 dabei ist.
Gruß v. Angela
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Hallo angela,
hab mir mal mit dieser Aufgabe beschäftigt.
komme aber leider auch nicht weiter. Verstehe deinen Tipp nicht ganz. Du sagt, die Dimension des Bildraumes ist 1. Wie kommst du da drauf?? weil durch linksmustiplikation mit einem Vektor immer nur ein vektor rauskommt?? oder versteh ich das ganze vollig falsch?? Die Dimension eines Raumes ist doch Die anzahl der Elemente der Basis des Raumes oder???
Wäre super nett von Dir, wenn du mir nochmal sagen/zeigen könntest wie ich hier bzgl dieser Aufgabe vorzugehen habe.
Viele liebe Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Do 28.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
der Bildraum wird durch die SPALTEN der Matrix aufgespannt - man sieht leicht, dass die Spalten linear abhängig sind und deshalb der Bildraum von einem Vektor minimal aufgespannt wird, also hat er die Dimension 1.
Das Vorgehen war nun, dass man die Dimensionen der Bilder der gegebenen Abbildungen berechnet und zu dem Schluß kommt, dass nur eine Abbildung die Bild-Dimension 1 hat.
(denn egal, wie man die Basen wählen würde, müssten die Spaltenvektoren immernoch linear abhängig sein (und nicht-trivial), was aber nicht der Fall ist, wenn das Bild die Dimension 2 hat)
viele Grüße
DaMenge
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hallo DaMenge.
Vielen dank für die rasche Antwort.
Den ersten Teil habe ich verstanden, jedoch weiß ich nicht genau wie man die Bilder der geg. Abb. jetzt berechnet?
Steh glaub ich ein wenig auf dem Schlauch:-(
Kannst du mir nochmal helfen??
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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> hjedoch weiß ich nicht
> genau wie man die Bilder der geg. Abb. jetzt berechnet?
Hallo,
ich mach's Dir am Beispiel c) vor:
> c) (x,y) -> (x,y-x)
Für x,y [mm] \in \IR [/mm] ist F(x,y)=(x,y-x)=x(1,-1)+y(0,1).
Das Bild wird also aufgespannt von (1,-1) und (0,1).
Die Dimension des Bildes ist =2, denn (1,-1) und (0,1) sind linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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hallo angela,
danke, ich glaube ich habs verstanden.
Komme nun zu folgendem Ergebis:
nur e) [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] \ [mm] \mapsto \vektor{x \\ 0} [/mm] ist richtig,
da F [mm] (\vektor{x \\ y}) [/mm] = [mm] \vektor{x \\ 0} [/mm] = x [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + y [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
da [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] linear abhängig sind, ist die Dimesion des Bildraums 1.
Stimmt das??
Aber was sit denn mit der Abb.: [mm] \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{0 \\ 0} [/mm] ??
Da ist das doch der gleiche Fall, oder nicht???
Viele Grüße, mathedepp_No.1
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> nur e) [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] \ [mm]\mapsto \vektor{x \\ 0}[/mm] ist
> richtig,
>
> da F [mm](\vektor{x \\ y})[/mm] = [mm]\vektor{x \\ 0}[/mm] = x [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> + y [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> da [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] linear abhängig
> sind, ist die Dimesion des Bildraums 1.
>
> Stimmt das??
Ja!
>
> Aber was sit denn mit der Abb.: [mm]\vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{0 \\ 0}[/mm]
> ??
>
> Da ist das doch der gleiche Fall, oder nicht???
Nein, der Fall ist anders gelagert. Hier ist die Dimension des Bildraumes =0, denn der Bildraum ist der winzige Vektorraum, welcher nur aus der Null ( [mm] \vektor{0 \\ 0}) [/mm] besteht, und der ist nulldimensional. (dim 0: Punkt, dim 1: Gerade)
Gruß v. Angela
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Danke. habs voll und ganz verstanden!!!!
Viele liebe Grüße, der mathedepp_No.1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Do 28.12.2006 | | Autor: | frozy |
Auch nochmal Dankeschön von mir!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Sa 06.01.2007 | | Autor: | pascal-g |
Hallo erst mal an den Matheraum,
ich habe mich auch gerade mit dieser Aufgabe beschäftigt und habe auch soweit alles verstanden, doch irgendwie verstehe ich immer noch nicht so ganz, wie man auf die Dimensionen des Abb. kommt.
Wie bekommt man die Werte, die du im Bsp. F(x,y)=(x,y-x)=x(1,-1)+y(0,1) verwendet hast?
Ich hänge irgendwie... :-/
Danke schon mal für eure Antworten!
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> rgendwie
> verstehe ich immer noch nicht so ganz, wie man auf die
> Dimensionen des Abb. kommt.
> Wie bekommt man die Werte, die du im Bsp.
> F(x,y)=(x,y-x)=x(1,-1)+y(0,1) verwendet hast?
Hallo,
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Schreiben wir's in Spalten, da sieht man es besser:
[mm] F\vektor{x \\ y}=\vektor{x \\ y-x}=\vektor{x \\ -x}+\vektor{0\\ y}=x\vektor{1 \\ -1}+y\vektor{0\\ 1}.
[/mm]
Es läßt sich also das Bild eines jeden Vektors als Linearkombination von [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\ 1} [/mm] darstellen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Sa 06.01.2007 | | Autor: | pascal-g |
Ach, natürlich... und ich habe es immer als Linearkombination gesehen (warum auch immer). Danke nochmal, jetzt ist es mir auch klar. :)
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