Endomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 So 13.05.2007 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | Sei f: V [mm] \to [/mm] V ein selbstadjungierter Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum.
Zeigen sie, dass wenn f invertierbar ist, dann ist auch [mm] f^\(-1 [/mm] selbstadjungiert. |
Hallo zusammen,
komme mit dieser Aufgabe leider kein Stück vorwärts.
Weiß, dass gilt:
f selbsadjungiert: [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V: [mm] ==
[/mm]
aber ich habe keine ahnung, wie ich diesen beweis zu führen habe!
Kann mir jemand helfen?
viele Grüße, die Kittie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:29 Mo 14.05.2007 | | Autor: | kittie |
hallo nochmal,
hoffe jemand kann mir helfen, komme leider keinen schritt weiter...:-(
wie muss ich das zeigen?Über die Darstellungsmatrix, Eigenwerte, oder direkt mit der Definition??
Brauche dringend Hilfe!!
Vielen Dank im Vorraus, die kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Mo 14.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Kittie!
> Sei f: V [mm]\to[/mm] V ein selbstadjungierter Endomorphismus auf
> einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum.
>
> Zeigen sie, dass wenn f invertierbar ist, dann ist auch
> [mm]f^\(-1[/mm] selbstadjungiert.
> Hallo zusammen,
>
> komme mit dieser Aufgabe leider kein Stück vorwärts.
> Weiß, dass gilt:
>
> f selbsadjungiert: [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in[/mm] V:
> [mm]==[/mm]
Ersetze in dieser Gleichung doch mal $v$ und $w$ durch [mm] $f^{-1}(v)$ [/mm] und [mm] $f^{-1}(w)$. [/mm] Das sind ja dann einfach zwei andere Vektoren aus $V$, also gilt die Gleichung auch fuer diese.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mo 14.05.2007 | | Autor: | kittie |
ok danke felix!
Hab nun folgende idee:
es gilt [mm] f\circ f^{-1}=id_V
[/mm]
Nun gilt:
[mm] [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] [/mm] = [mm]
[/mm]
[mm] \rigtharrow f^{-1} [/mm] ist selbstadjungiert!! 
Aber ne allgeimeine Frage dazu habe ich noch bzgl der Vorraussetzng in der aufgabenstellung:
Dort steht ja sei f: [mm] V\toV [/mm] ein selbstadjungierter Endomorphismus auf einen ENDLICHDIMENSIONALEN REELLEN Vektorraum.
Aber in meinem Beweis verwende ich doch ein Skalarprokukt <,>. Darf ich das in diesem Falle überhaupt verwendet, da ja nicht von einem euklidischen Vektorraum die rede ist....also was erlaubt mir die Verwendung von <,>??
Wäre prima wenn mich da jemand aufklären könnte, da der Beweis ja in sich schlüssig ist, oder?
lieben Gruß, die kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mo 14.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo kittie!
> Hab nun folgende idee:
>
> es gilt [mm]f\circ f^{-1}=id_V[/mm]
>
> Nun gilt:
> [mm][/mm] = [mm][/mm] =
> [mm][/mm] = [mm][/mm] =
> [mm][/mm] = [mm][/mm] =
> [mm][/mm]
>
>
> [mm]\rigtharrow f^{-1}[/mm] ist selbstadjungiert!!
Genau :)
> Aber ne allgeimeine Frage dazu habe ich noch bzgl der
> Vorraussetzng in der aufgabenstellung:
> Dort steht ja sei f: [mm]V\toV[/mm] ein selbstadjungierter
> Endomorphismus auf einen ENDLICHDIMENSIONALEN REELLEN
> Vektorraum.
>
> Aber in meinem Beweis verwende ich doch ein Skalarprokukt
> <,>. Darf ich das in diesem Falle überhaupt verwendet, da
> ja nicht von einem euklidischen Vektorraum die rede
> ist....also was erlaubt mir die Verwendung von <,>??
Nunja, der Begriff ``selbstadjungiert'' macht ohne ein Skalarprodukt einfach keinen Sinn. Somit muesste die Aufgabenstellung eigentlich anfangen mit ``Sei $f : V [mm] \to [/mm] V$ ein selbstadjungierter Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum mit Skalarprodukt [mm] $\langle \bullet, [/mm] bullet [mm] \rangle$.''
[/mm]
Ich vermute mal, dass der Aufgabensteller das schlichtweg vergessen hat...
Und wozu man das endlichdimensional brauchen soll ist mir auch schleierhaft, da man das hier ebensowenig benoetigt...
LG Felix
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