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| Aufgabe | Es sei f ein Endomorphismus von [mm] \IR^3 [/mm] mit den Bildern
f((1,0,0))=(2,1,0), f((1,1,0))=(2,1,1), f((1,1,1))=(-2,-1,0).
(a) Geben Sie f((x,y,z)) für beliebige Vektoren (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] an.
(b) Bestimmen Sie Kern und Bild von f.
(c) Bestimmen Sie den Schnitt U und die Summe W von Kern und Bild.
(d) Bestimmen Sie jeweils ein Komplement von U und W. |
Guten Tag,
ich habe schon einen Lösungsweg für die erste Hälfte, bin mir aber noch nicht sicher, ob ich auch alles richtig mache und ob ich die richtige Notation verwende. Und ab Aufgabe c komme ich nicht weiter. Ich habe mir das wie folgt überlegt.
[mm] v_1 [/mm] =(1,0,0)
[mm] v_2 [/mm] =(1,1,0)
[mm] v_3 [/mm] =(1,1,1)
(a) Um die Abbildung für beliebige Vektoren anzugeben, habe ich zunächst die Einheitsvektoren mithilfe der Vektoren [mm] v_1 [/mm] bis [mm] v_3 [/mm] dargestellt und die Abbildung der Einheitsvektoren bestimmt.
[mm] e_1 :v_1 [/mm] = (1,0,0)
[mm] e_2 :v_2 -v_1 [/mm] = (0,1,0)
[mm] e_3 :v_3 -v_2 [/mm] = (0,0,1)
[mm] f(e_1) [/mm] = (2,1,0)
[mm] f(e_2) [/mm] = (0,0,1)
[mm] f(e_3) [/mm] = (-4,-2,-1)
Aus den Abbildungen der Einheitsvektoren kann ich die Abbildung für beliebige Vektoren ablesen.
[mm] f((x_1 , x_2 , x_3)) -> (2x_1 +x_2 , x_3 , -4x_1 -2x_2 -x_3) [/mm] mit [mm] x_1 , x_2 , x_3 \in \IR^3 [/mm]
(b) Um den Kern zu bestimmen habe ich die Abbildungsfunktion als lineare Gleichung aufgeschrieben und gleich Null gesetzt.
[mm] 2x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 0
[mm] x_3 [/mm] = 0
[mm] -4x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] = 0
=> [mm] x_3 [/mm] = 0 und [mm] x_2 [/mm] = [mm] -2x_1
[/mm]
=> Der Kern ist [mm] \langle [/mm] (-2,1,0) [mm] \rangle
[/mm]
bzw. der Kern (f): [mm] \{t(-2,1,0) \mid t\in \IR \}
[/mm]
--- Bei dem Kern wundere ich mich ziemlich, wenn ich mir nämlich überlege das für t=1 (-2,1,0) auf das neutrale Element, also (0,0,0) abgebildet werden soll, kann ich das nicht wirklich nachvollziehen. (-2,1,0) kann ich aus [mm] -3v_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] konstruieren, da -3(1,0,0) + (1,1,0) = (-2,1,0). Dies wird aber nicht auf (0,0,0) sonder auf -3(2,1,0) + (2,1,1) = (-4,2,1) abgebildet. ---
Das Bild wird ja durch die Abbildung für beliebige Vektoren bestimmt. Da jedoch ein Vektor linear abhängig (der Begriff wurde bei uns noch nicht offiziell eingeführt) ist, kann man das Bild auch einfacher schreiben.
Da [mm] -2x_1 + x_2 = \bruch {1} {2} (4x_1 + 2x_2 + x_3) - \bruch {1} {2} (x_3) [/mm] gilt
Bild [mm] (f) = \{a(0,0,1) + b(-4,-2,-1) \mid b \in \IR\} = \langle (0,0,1), (-4,-2,-1) \rangle [/mm]
(c) mit dem Schnitt tue ich mir noch ziemlich schwer. Ich muss ja das Bild und den Kern gleichsetzen. Da es sich bei dem Bild um eine Ebene und bei dem Kern um eine Gerade handelt, sollte wahrscheinlich ein Punkte als Schnittmenge rauskommen. Mal abgesehen von der Ausnahme dass die Lösungsgerade des Kerns komplett auf der Ebene des Bildes liegt. Aber mit der konkreten Umsetzung tue ich mir schwer.
a [mm] \vektor {0\\0\\1} [/mm] + b [mm] \vektor {-4\\-2\\-1} [/mm] = t [mm] \vektor {-2\\1\\0}
[/mm]
wenn ich die beiden Lösungsmengen auf diese Art gleichsetze krieg ich ja 6 Variablen. Das kanns ja nicht sein. Aber wenn ich a, b, t weglasse krieg ich glaube ich auch keine vernünftige Lösung.
[mm] -4x_1 [/mm] = [mm] -2x_1
[/mm]
[mm] -2x_2 [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] =0
=> Kern [mm] \cup [/mm] Bild = (0,0,0) ???
Gruß almightybald
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Hallo,
Das ist n ganz schöner Batzen. Ich fang mal mitten drinne an, und dann arbeiten wir uns allmählig durch.
> Es sei f ein Endomorphismus von [mm]\IR^3[/mm] mit den Bildern
>
> f((1,0,0))=(2,1,0), f((1,1,0))=(2,1,1),
> f((1,1,1))=(-2,-1,0).
>
> (a) Geben Sie f((x,y,z)) für beliebige Vektoren (x,y,z)
> [mm]\in \IR^3[/mm] an.
>
> (b) Bestimmen Sie Kern und Bild von f.
>
> (c) Bestimmen Sie den Schnitt U und die Summe W von Kern
> und Bild.
>
> (d) Bestimmen Sie jeweils ein Komplement von U und W.
> Guten Tag,
>
> ich habe schon einen Lösungsweg für die erste Hälfte,
> bin mir aber noch nicht sicher, ob ich auch alles richtig
> mache und ob ich die richtige Notation verwende. Und ab
> Aufgabe c komme ich nicht weiter. Ich habe mir das wie
> folgt überlegt.
>
> [mm]v_1[/mm] =(1,0,0)
> [mm]v_2[/mm] =(1,1,0)
> [mm]v_3[/mm] =(1,1,1)
>
> (a) Um die Abbildung für beliebige Vektoren anzugeben,
> habe ich zunächst die Einheitsvektoren mithilfe der
> Vektoren [mm]v_1[/mm] bis [mm]v_3[/mm] dargestellt und die Abbildung der
> Einheitsvektoren bestimmt.
>
> [mm]e_1 :v_1[/mm] = (1,0,0)
> [mm]e_2 :v_2 -v_1[/mm] = (0,1,0)
> [mm]e_3 :v_3 -v_2[/mm] = (0,0,1)
>
> [mm]f(e_1)[/mm] = (2,1,0)
> [mm]f(e_2)[/mm] = (0,0,1)
> [mm]f(e_3)[/mm] = (-4,-2,-1)
>
Hab ich jetzt nicht nachgerechnet, aber vom Prinzip her genau richtig!
> Aus den Abbildungen der Einheitsvektoren kann ich die
> Abbildung für beliebige Vektoren ablesen.
>
> [mm]f((x_1 , x_2 , x_3)) -> (2x_1 +x_2 , x_3 , -4x_1 -2x_2 -x_3)[/mm]
> mit [mm]x_1 , x_2 , x_3 \in \IR^3[/mm]
>
Hier haut was nicht hin. [mm]f((x_1 , x_2 , x_3)) = x_1 f(e_1)+ x_2 f(e_2) + x_3 f(e_3) = x_1 *\vektor{2 \\ 1 \\ 0} + x_2 \vektor{0 \\ 0 \\ 1} + x_3 \vektor{-4 \\ -2 \\ -1} [/mm]
> (b) Um den Kern zu bestimmen habe ich die
> Abbildungsfunktion als lineare Gleichung aufgeschrieben und
> gleich Null gesetzt.
>
> [mm]2x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] = 0
> [mm]x_3[/mm] = 0
> [mm]-4x_1[/mm] - [mm]2x_2[/mm] - [mm]x_3[/mm] = 0
>
> => [mm]x_3[/mm] = 0 und [mm]x_2[/mm] = [mm]-2x_1[/mm]
>
> => Der Kern ist [mm]\langle[/mm] (-2,1,0) [mm]\rangle[/mm]
> bzw. der Kern (f): [mm]\{t(-2,1,0) \mid t\in \IR \}[/mm]
>
> --- Bei dem Kern wundere ich mich ziemlich, wenn ich mir
> nämlich überlege das für t=1 (-2,1,0) auf das neutrale
> Element, also (0,0,0) abgebildet werden soll, kann ich das
> nicht wirklich nachvollziehen. (-2,1,0) kann ich aus [mm]-3v_1[/mm]
> + [mm]v_2[/mm] konstruieren, da -3(1,0,0) + (1,1,0) = (-2,1,0). Dies
> wird aber nicht auf (0,0,0) sonder auf -3(2,1,0) + (2,1,1)
> = (-4,2,1) abgebildet. ---
>
> Das Bild wird ja durch die Abbildung für beliebige
> Vektoren bestimmt. Da jedoch ein Vektor linear abhängig
> (der Begriff wurde bei uns noch nicht offiziell
> eingeführt) ist, kann man das Bild auch einfacher
> schreiben.
>
> Da [mm]-2x_1 + x_2 = \bruch {1} {2} (4x_1 + 2x_2 + x_3) - \bruch {1} {2} (x_3)[/mm]
> gilt
>
> Bild [mm](f) = \{a(0,0,1) + b(-4,-2,-1) \mid b \in \IR\} = \langle (0,0,1), (-4,-2,-1) \rangle[/mm]
>
> (c) mit dem Schnitt tue ich mir noch ziemlich schwer. Ich
> muss ja das Bild und den Kern gleichsetzen. Da es sich bei
> dem Bild um eine Ebene und bei dem Kern um eine Gerade
> handelt, sollte wahrscheinlich ein Punkte als Schnittmenge
> rauskommen. Mal abgesehen von der Ausnahme dass die
> Lösungsgerade des Kerns komplett auf der Ebene des Bildes
> liegt. Aber mit der konkreten Umsetzung tue ich mir
> schwer.
>
> a [mm]\vektor {0\\0\\1}[/mm] + b [mm]\vektor {-4\\-2\\-1}[/mm] = t [mm]\vektor {-2\\1\\0}[/mm]
>
> wenn ich die beiden Lösungsmengen auf diese Art
> gleichsetze krieg ich ja 6 Variablen. Das kanns ja nicht
> sein. Aber wenn ich a, b, t weglasse krieg ich glaube ich
> auch keine vernünftige Lösung.
>
> [mm]-4x_1[/mm] = [mm]-2x_1[/mm]
> [mm]-2x_2[/mm] = [mm]x_2[/mm]
> [mm]x_3[/mm] - [mm]x_3[/mm] =0
>
> => Kern [mm]\cup[/mm] Bild = (0,0,0) ???
>
> Gruß almightybald
>
lg Kai
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Ja, stimmt da hab ich was vertauscht deshalb kam ich auf den falschen Kern.
Ich hab jetzt mittlerweile den Kern ausgerechnet:
Kern (f): [mm] \{t(2,1,1)\mid t\in \IR \}
[/mm]
und auch das Bild (f) [mm] :\{a(2,1,0) , b(0,0,1)\mid a,b\in \IR \}
[/mm]
Wenn ich jetzt den Schnitt ausrechnen will setzte ich die beiden gleich und komme auf t=a und t=b und somit auch a=b. Wenn ich mir das so überlege macht das auch Sinn. Aber wie krieg ich das denn jetzt in eine vernünftige Schreibweise übertragen (wenns richtig ist)? Ich versteh nicht wie ich das Ergebnis in eine Vektoren Schreibweise umwandeln kann.
Gruß und Dank
almightybald
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Guten Abend,
> Ja, stimmt da hab ich was vertauscht deshalb kam ich auf
> den falschen Kern.
>
> Ich hab jetzt mittlerweile den Kern ausgerechnet:
>
> Kern (f): [mm]\{t(2,1,1)\mid t\in \IR \}[/mm]
>
> und auch das Bild (f) [mm]:\{a(2,1,0) , b(0,0,1)\mid a,b\in \IR \}[/mm]
>
Hier haut auch nicht alles hin. Du hast recht damit, dass die Vektoren lin.abhängig sind, aber 2 davon jeweils nicht.
D.h. das $Bild~f = [mm] \{ \nu : \nu = f (x), ~ x\in \IR^3 \} [/mm] = [mm] \{ x_1 * \vektor{2 \\ 1 \\ 0} + x_2 * \vektor{0 \\ 0 \\ 1}: ~ x_1, x_2 \in \IR \} [/mm] = [mm] span(\vektor{2 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}) [/mm] $ soll die lineare Hülle sein, ich weiß nicht wie ihr die bez. habt, vllt lin.
> Wenn ich jetzt den Schnitt ausrechnen will setzte ich die
> beiden gleich und komme auf t=a und t=b und somit auch a=b.
> Wenn ich mir das so überlege macht das auch Sinn. Aber wie
> krieg ich das denn jetzt in eine vernünftige Schreibweise
> übertragen (wenns richtig ist)? Ich versteh nicht wie ich
> das Ergebnis in eine Vektoren Schreibweise umwandeln kann.
>
Der Schnitt von Kern und Bild ist doch in diesem Fall der Schnitt einer Ebene (=Bild) und einer Gerade (=Kern).
Sowas hast du bestimmt schon in der Schule gemacht!
> Gruß und Dank
> almightybald
lg Kai
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Hallo,
bei dem Bild haben wir doch das gleich raus, oder? Ich hab statt [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] nur a und b verwendet.
Und bei dem Schnitt tue ich mir schwer die Schreibweise mit diesen Vektoren zu verstehen (Schule ist lange, lange her bei mir). Die Lösung ist ja eigentlich a=b=t bzw. [mm] x_1=x_2=t. [/mm] Wenn man sich die Ebene und die Gerade anschaut macht das ja auch Sinn. Aber ich versteh nicht was das dann genau heißt. Eigentlich müsste bei dem Schnitt ja ein Punkt rauskommen. Wie sieht der Punkte denn aus? Wie sieht das Ergebnis denn aus wenn man es formal richtig aufschreibt?
Gruß und Dank
almightybald
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> Hallo,
>
> bei dem Bild haben wir doch das gleich raus, oder? Ich hab
> statt [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] nur a und b verwendet.
>
Bei dem was du geschrieben hast, wäre der Vektor [mm] $\vektor{2 \\ 1\\ 1}$ [/mm] z.B. nicht enthälten.
> Und bei dem Schnitt tue ich mir schwer die Schreibweise mit
> diesen Vektoren zu verstehen (Schule ist lange, lange her
> bei mir). Die Lösung ist ja eigentlich a=b=t bzw.
> [mm]x_1=x_2=t.[/mm] Wenn man sich die Ebene und die Gerade anschaut
> macht das ja auch Sinn. Aber ich versteh nicht was das dann
> genau heißt. Eigentlich müsste bei dem Schnitt ja ein
> Punkt rauskommen. Wie sieht der Punkte denn aus? Wie sieht
> das Ergebnis denn aus wenn man es formal richtig
> aufschreibt?
Mach dir am bessten klar, warum
[mm] \{ x_1 \cdot{} \vektor{2 \\ 1 \\ 0} + x_2 \cdot{} \vektor{0 \\ 0 \\ 1}: ~ x_1, x_2 \in \IR \} [/mm] = [mm] \{ x_1 \cdot{} \vektor{2 \\ 1 \\ \red{1}} + x_2 \cdot{} \vektor{0 \\ 0 \\ 1}: ~ x_1, x_2 \in \IR \}
[/mm]
Jetzt hüpft dich der Schnitt quasi schon an!
>
> Gruß und Dank
> almightybald
lg Kai
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Also meinen Fehler bei dem Bild hab ich jetzt verstanden. Ich hab die Vektoren mit Komma verknüpft, aber ich ich muss sie mit Plus verknüpfen, damit eine Ebene rauskommt.
Aber das mit dem Schnitt versteh ich nicht. Du hast als tipp da ja auf einer Seite das bild und auf der anderen Seite den Kern plus [mm] x_2 [/mm] (0,0,1) hingeschrieben. Bei dieser Gleichung muss [mm] x_1 [/mm] gleich null sein und [mm] x_2 [/mm] kann beliebig sein. Aber die verwirrt mich eher, als dass mir irgendwas klarer wird. Wieso addierst du noch was zum Kern dazu? Und muss ich bei Kern und Bild dieselben Werte für die x einsetzen? Ich hab da ja a,b und t verwendet. Also alle drei voneinander unabhängige Werte.
Ich find diesen Schnitt recht frustrierend. Das ist doch sicherlich ganz einfach und ich hab ja auch kein Problem so ein Gleichungssystem zu lösen, die Lösung ist doch wirklich [mm] x_1=x_2=t. [/mm] Wenn man für alle drei Koeffizienten den gleichen Wert einsetzt, schneidet die Ebene die Gerade.
Beispiel: 3(2,1,0) + 3(0,0,1) = 3(2,1,1) für t=b=a=3
Das ist doch der Schnitt, oder? Aber wenn ich das so in einen Test schreibe, kommt sicher wieder der Rotstift.
Ich versteh einfach nicht, was ich hier nicht verstehe.
Gruß und Dank almightybald
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Ich dachte mein Hinweis hilft vllt. Wenn es dich mehr verwirrt, dann streich gedanklich meinen Tipp.
Ich muss mich erstmal hier bei dir entschuldigen. Du hast bei deiner Kernberechnung den gleichen Fehler gemacht, wie deinem Bild am Anfang. Das ist mir erst jetz aufgefallen.
Rechne den Kern nochmal aus, dann können wir auch den Schnitt ordentlich ausrechnen!
Zur Kontrolle: Ich komme auf [mm] $Ker~f=\{ \lambda \vektor{ 2 \\ 1 \\ 1 }:~ \lambda \in \IR \}$. [/mm] (ohne gewähr, aber anschaulich klappt alles)
Und damit macht auch alles mehr Sinn.
lg Kai
edit: Hatte auf meinem Schmierzettel einen Zahlendreher, sry!
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Hallo,
ich bin eigentlich immer noch für Kern (f) = [mm] \{t(2,1,1) \mid t\in \IR \}. [/mm] Das kann man auch an einem Beispiel für t und a und b gleich 1 sehen. f(2,1,1) = f(1,0,0) + f(1,1,1) = (2,1,0) + (-2,-1,0) = 0.
f(1,2,2) kann man erzeugen durch -f(1,0,0) + 2f(1,1,1) und das wird nicht auf null abgebildet.
Gruß almigtybald
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> Hallo,
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> ich bin eigentlich immer noch für Kern (f) = [mm]\{t(2,1,1) \mid t\in \IR \}.[/mm]
Hallo,
läuft hier jetzt eine Abstimmung darüber, was der Kern ist?
Dann will ich mal mitmachen: ich bin auch für Deinen Kern.
> Das kann man auch an einem Beispiel für t und a und b
> gleich 1 sehen. f(2,1,1) = f(1,0,0) + f(1,1,1) = (2,1,0) +
> (-2,-1,0) = 0
Nicht "=0", sondern "=(0,0,0)".
Gruß v. Angela
>
> f(1,2,2) kann man erzeugen durch -f(1,0,0) + 2f(1,1,1) und
> das wird nicht auf null abgebildet.
>
> Gruß almigtybald
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Gut, dann haben wir das schon mal geklärt.
Das ursprüngliche Problem war der Schnitt von dem Kern {t(2,1,1) [mm] \mid t\in \IR \} [/mm] mit dem Bild [mm] \{a(2,1,0) + b(0,0,1)\mid a,b\in \IR \}. [/mm] Wenn man das Gleichungssystem aufstellt, erhält man t=a=b. Das macht Ja auch Sinn, wie man am Beispiel für die Berechnung des Kerns für t=a=b=1 sehen konnte.
Aber was ist jetzt genau die Lösungsmenge des Schnittes? Wie kann man das aufschreiben? Ich muss dafür dann ja auch noch das Komplement ausrechnen, dafür brauch ja erstmal ein formal richtiges Ergebnis.
Gruß und Dank almightybald
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Gut, dann haben wir das schon mal geklärt.
>
> Das ursprüngliche Problem war der Schnitt von dem Kern
> {t(2,1,1) [mm]\mid t\in \IR \}[/mm] mit dem Bild [mm]\{a(2,1,0) + b(0,0,1)\mid a,b\in \IR \}.[/mm]
> Wenn man das Gleichungssystem aufstellt, erhält man t=a=b.
Hallo,
ja, alle Lösungen des Systems haben die Gestalt
[mm] \vektor{t\\a\\b}=\lambda\vektor{1\\1\\1}.
[/mm]
D.h. im Schnitt liegen die Vektoren [mm] \vec{v}, [/mm] die man schreiben kann als [mm] \vec{v}=\lambda(2,1,1) [/mm] bzw. [mm] \vec{v}=\lambda(2,1,0)+\lambda(0,0,1)=\lambda(2,1,1).
[/mm]
Also ist der Schnitt der beiden Raume [mm] \{t(2,1,1)| t\in \IR\}.
[/mm]
Es liegt also der erste Deiner Räume im zweiten - was man eigentlich auch sofort sehen kann.
Gruß v. Angela
> Das macht Ja auch Sinn, wie man am Beispiel für die
> Berechnung des Kerns für t=a=b=1 sehen konnte.
>
> Aber was ist jetzt genau die Lösungsmenge des Schnittes?
> Wie kann man das aufschreiben? Ich muss dafür dann ja auch
> noch das Komplement ausrechnen, dafür brauch ja erstmal
> ein formal richtiges Ergebnis.
>
> Gruß und Dank almightybald
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> Gut, dann haben wir das schon mal geklärt.
>
> Das ursprüngliche Problem war der Schnitt von dem Kern
> [mm]\{t(2,1,1) \mid t\in \IR \}[/mm] mit dem Bild [mm]\{a(2,1,0) + b(0,0,1)\mid a,b\in \IR \}.[/mm]
> Wenn man das Gleichungssystem aufstellt, erhält man t=a=b.
> Das macht Ja auch Sinn, wie man am Beispiel für die
> Berechnung des Kerns für t=a=b=1 sehen konnte.
>
> Aber was ist jetzt genau die Lösungsmenge des Schnittes?
> Wie kann man das aufschreiben? Ich muss dafür dann ja auch
> noch das Komplement ausrechnen, dafür brauch ja erstmal
> ein formal richtiges Ergebnis.
>
> Gruß und Dank almightybald
Hallo Karsten,
da der Basisvektor (2,1,1) des Kerns K aus den Basis-
vektoren (2,1,0) und (0/0/1) des Bildes B erzeugt werden
kann:
(2,1,1)=(2,1,0)+(0/0/1)
ist K offenbar ein Unterraum von B und somit ist [mm] U=K\cap{B}=K [/mm] .
LG Al-Chw.
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