Endomorphismus < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Mo 18.04.2011 | | Autor: | Wesen |
| Aufgabe | | Sei V ein Vektorraum der Dimension n und a [mm] \in [/mm] End(V) ein Endomorphismus mit n (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeigen Sie: Jeder Endomorphismus von V, der mit a kommutiert, ist diagonalisierbar. |
Hallo,
ich muss ehrlich sagen, ich kam dieses Semester zum Glück bis jetzt recht gut mit den Aufgaben klar, jedoch muss ich bei dieser Aufgabe irgendwie kapitulieren. Mir sind die Begriffe alle bewusst, ich weiß jedoch nicht so richtig wie ich an die Aufgabe ran gehen soll, vielleicht kann mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben.
Liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Di 19.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Sei V ein Vektorraum der Dimension n und a [mm]\in[/mm] End(V) ein
> Endomorphismus mit n (paarweise) verschiedenen Eigenwerten.
> Zeigen Sie: Jeder Endomorphismus von V, der mit a
> kommutiert, ist diagonalisierbar.
> Hallo,
> ich muss ehrlich sagen, ich kam dieses Semester zum Glück
> bis jetzt recht gut mit den Aufgaben klar, jedoch muss ich
> bei dieser Aufgabe irgendwie kapitulieren. Mir sind die
> Begriffe alle bewusst, ich weiß jedoch nicht so richtig
> wie ich an die Aufgabe ran gehen soll, vielleicht kann mir
> jemand einen kleinen Denkanstoß geben.
Da a n paarweise verschiedene Eigenwerte besitzt, ist a selbst diagonalisierbar (ist dir klar warum?)
Damit gibt es eine Basis [mm] $(v_1,\ldots,v_n)$ [/mm] von V aus Eigenvektoren von a. Da [mm] $a(v_i)=\lambda_i v_i$ [/mm] gilt (wenn [mm] $\lambda_i$ [/mm] der i-te Eingenwert ist) gilt insbesondere [mm] a(v_i) \in Lin(v_i)$.
[/mm]
Sei also nun b ein Endomorphismus von V, der mit a kommutiert, dann gilt also $a [mm] \circ [/mm] b = b [mm] \circ [/mm] a [mm] \Rightarrow a(b(v_i))=b(a(v_i))$ [/mm] für alle i.
Es gilt: [mm] $b(a(v_i))= b(\lambda_i v_i) [/mm] = [mm] \lambda_i b(v_i)$.
[/mm]
Also haben wir nun [mm] $a(b(v_i)) [/mm] = [mm] \lambda_i b(v_i)$.
[/mm]
Kommst du damit weiter? Du musst nun begründen, warum [mm] $b(v_i) \in Lin(v_i)$ [/mm] ist. Damit ist b dann diagonalisierbar, da alle Basisvektoren [mm] $v_i$ [/mm] Eigenvektoren von b sind.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Di 19.04.2011 | | Autor: | Wesen |
> Nabend,
>
> > Sei V ein Vektorraum der Dimension n und a [mm]\in[/mm] End(V) ein
> > Endomorphismus mit n (paarweise) verschiedenen Eigenwerten.
> > Zeigen Sie: Jeder Endomorphismus von V, der mit a
> > kommutiert, ist diagonalisierbar.
> > Hallo,
> > ich muss ehrlich sagen, ich kam dieses Semester zum Glück
> > bis jetzt recht gut mit den Aufgaben klar, jedoch muss ich
> > bei dieser Aufgabe irgendwie kapitulieren. Mir sind die
> > Begriffe alle bewusst, ich weiß jedoch nicht so richtig
> > wie ich an die Aufgabe ran gehen soll, vielleicht kann mir
> > jemand einen kleinen Denkanstoß geben.
>
> Da a n paarweise verschiedene Eigenwerte besitzt, ist a
> selbst diagonalisierbar (ist dir klar warum?)
> Damit gibt es eine Basis [mm]$(v_1,\ldots,v_n)$[/mm] von V aus
> Eigenvektoren von a. Da [mm]$a(v_i)=\lambda_i v_i$[/mm] gilt (wenn
> [mm]$\lambda_i$[/mm] der i-te Eingenwert ist) gilt insbesondere
> [mm]a(v_i) \in Lin(v_i)$.[/mm]
>
> Sei also nun b ein Endomorphismus von V, der mit a
> kommutiert, dann gilt also [mm]a \circ b = b \circ a \Rightarrow a(b(v_i))=b(a(v_i))[/mm]
> für alle i.
> Es gilt: [mm]b(a(v_i))= b(\lambda_i v_i) = \lambda_i b(v_i)[/mm].
>
> Also haben wir nun [mm]a(b(v_i)) = \lambda_i b(v_i)[/mm].
> Kommst du
> damit weiter? Du musst nun begründen, warum [mm]b(v_i) \in Lin(v_i)[/mm]
> ist. Damit ist b dann diagonalisierbar, da alle
> Basisvektoren [mm]v_i[/mm] Eigenvektoren von b sind.
>
> LG Lippel
>
>
Danke dir,
Mir ist klar warum, besitzt a n paarweise verschiedene Eigenwerte, so ist a diagonalisierbar, denn die Dimension jedes Eigenraums ist 1, denn jeder Eigenraum hat mindestens die Dimension 1 und da es n verschiedene Eigenräume gibt, kann kein Eigenraum eine größere Dimension als 1 haben. Die Summe der geometrischen Vielfachheiten ist gleich n und so ist a diagonalisierbar. Jetzt speziell auf diesen Fall bezogen, wenn ich mich nicht irre.
Was mich irritiert ist der Ausdruck "Lin", den hab ich so noch nicht gesehen, da kann ich irgendwie gar nichts mit anfangen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Di 19.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Mir ist klar warum, besitzt a n paarweise verschiedene
> Eigenwerte, so ist a diagonalisierbar, denn die Dimension
> jedes Eigenraums ist 1, denn jeder Eigenraum hat mindestens
> die Dimension 1 und da es n verschiedene Eigenräume gibt,
> kann kein Eigenraum eine größere Dimension als 1 haben.
> Die Summe der geometrischen Vielfachheiten ist gleich n und
> so ist a diagonalisierbar. Jetzt speziell auf diesen Fall
> bezogen, wenn ich mich nicht irre.
Genau.
> Was mich irritiert ist der Ausdruck "Lin", den hab ich so
> noch nicht gesehen, da kann ich irgendwie gar nichts mit
> anfangen.
Mit [mm] $Lin(v_i)$ [/mm] meine ich die lineare Hülle von [mm] $v_i$, [/mm] man schreibt auch [mm] $Lin(v_i) [/mm] = [mm] span(v_i) [/mm] = [mm] $. [/mm] Vielleicht ist dir eine von diesen Schreibweisen geläufig.
LG Lippel
|
|
|
|
