Endomorphismus oder Matrix? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:59 Mi 13.07.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo lieber Mathematiker/in.
Ich habe paar Verständnisfragen. z.B. Ich habe eine Matrix
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 1\\ 2 & 4 & 2\\ 1 & 1 & 3}
[/mm]
von disem Matrix finde ich char.Polynom.
[mm] X^{3}- 10X^{2}+28X-24 [/mm] dann sind die Nullstellen
[mm] \lambda_{1}= \lambda_{2}=2
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=6
[/mm]
Ist dise Matrix Diagonalisierbar?? Jetz habe ich hier paar Probleme
Wenn ich hier sage, Die Matrix ist nicht Diagonalisierbar, weil Die Nullstelle [mm] \lambda_{1}= \lambda_{2}=2 [/mm] die algebraische Vielfachheit 2 hat.
Und somit
geometrische Vielfachheit [mm] \not= [/mm] Algebraische Vielfachheit
stimmen nicht überein. ( Ich glauebe mein Antwort ist nur für Endomorphismen gültig, oder)
Aber man kann auch diese Matrix als Darstellungsmatrix von einer Endomorphismus sehen oder nicht?
Ich habe hier trotzdem die Eigenräume gefunden.
[mm] \underbrace{\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}}_{\lambda_{1}=2} [/mm] , [mm] \underbrace{\vektor{-1 \\ 0\\ 1}}_{\lambda_{2}=2} [/mm] , [mm] \underbrace{\vektor{1 \\ 2 \\ 1}}_{\lambda_{3}=6}
[/mm]
Außerdem Kann ich hier ach andere Eigenvektoren finden. Jetz mache ich daraus ein Matrix
[mm] \underbrace{ \pmat{ -1 & -1 & 1\\1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1}}_{S}
[/mm]
[mm] \underbrace{ \pmat{ -0,5 & 0,5 & -0,5 \\-0,25 & -0,25 & 0,75 \\0,25 & 0,25 & 0,25}}_{S^{-1}} \* \underbrace{ \pmat{ 3 & 1 & 1\\ 2 & 4 & 2\\ 1 & 1 & 3}}_{A} \* \underbrace{ \pmat{ -1 & -1 & 1\\1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1}}_{S} =\underbrace{ \pmat{ 2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 6}}_{D}
[/mm]
kann jemand mir bitte bisschen erläutern,
Hat dise Matrix mit Endomorphismen zutun? oder nicht? Wenn nicht dann ist diese Matrix diagonalisierbar, Weil Diese Matrix ähnlich ist.
Wie finde ich jetz zb. Jordansche Normalform? und Minimalpolynom?? Die definitionen sind Im Script, aber verstehe ich nicht so genau. Kann jemand bitte bei disem beispiel, die Jordansche normalform und Minimalpolynom zeigen. Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:23 Mi 13.07.2005 | | Autor: | Nam |
Jeder Endomorphismus eine endlich-dimensionalen Vektorraumes wird durch eine nxn Matrix (also eine quadratische) dargestellt - andersherum stellt jede nxn Matrix einen Endomorphismus dar. Deine Matrix ist natürlich hier auch ein Endomorphismus, aber das hat ja nichts mit der Aufgabe "Diagonalisierung" zu tun.
Diagonalisierung heisst, dass es eine Basis aus Eigenvektoren gibt.
Das heisst ja nur, dass die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich der Dimension des Vektorraums sein muss. Diese Matrix ist natürlich diagonalisierbar, denn du hast 3 Eigenvektoren gefunden (natürlich linear unabhängig).
Die Jordan Form ist das selbe wie die Diagonalmatrix. Schliesslich ist Diagonalisierung nur eine Spezialform der Jordan Form. Immer wenn es mit der Diagonalisierung nicht klappt, ist die Jordan Form das "nächstbeste" sozusagen.
Zum Minimalpolynom: da die Eigenräume hier schon gleich den Haupträumen sind (sieht man an der Dimensionen 2 und 1), ist das Minimalpolynom:
[mm](x-2)(x-6)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mi 13.07.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo, Danke dir
Aber es musst doch die geometrische Vielfachheit mit algebraische übereinstimmen.
Hier stimmt es aber nicht.
Die algebraische Vielfachheit ist zum Eigenwert 2 ist zwei.
Aber die geometrische Vielfachheit ist nicht zwei.
Ich habe aber trotzdem Basis gefunden?
Ich dachte immer, wenn die Nullstellen verschieden sind, dann ist es diagonilisierbar. Hier ist es trotzdem diagonilisierbar.
Wie geht das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Mi 13.07.2005 | | Autor: | NECO |
Vielen Dank
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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Doch! Denn die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des zugehörigen Eigenraumes. Da du aber zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert $2$ gefunden hast, ist die Dimension dieses Eigenraumes eben nun mal $2$. Also ist die geometrische Vielfachheit gleich $2$.
