Endomorphismus und Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Mo 06.04.2009 | | Autor: | Accid |
| Aufgabe | Begründen sie, warum es eine Bijektion zwischen dem Raum der nxn-Matritzen und dem Raum der Endomorphismen auf V gibt?
V sei Vektorraum |
Bin gerade beim lernen auf diese Frage gestoßen und hab ehrlich gesagt keine Ahnung.
Das bedeutet ja eigentlich, dass es zu jedem End(v) genau eine darstellende Matrix gibt. Das kommt mir irgendwie komisch vor. Denn so ist doch z.B.
[mm] id:R^2->R^2 [/mm] und B=C irgendeine Basis von [mm] R^2, [/mm] dann ist die darstellende Matrix [mm] M_id(C,B)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Ist f:R->R:(x,y)->(y,x), und ist B=((1,0),(0,1)) und C=((0,1),(1,0)), dann ist die darstellende Matrix ja auch
[mm] M_f(C,B)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
somit wäre es ja keine Bijektion... aber irgendwie glaub ich, ich verdreh das was ziemlich...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Mo 06.04.2009 | | Autor: | Gilga |
Ich versteh jetzzt nicht genau was du mit B und C meinst
id <-> Einheitsmatrix (1,0),(0,1)
Komponenten vertauschen <-> (0,1)(1,0)
Also verschiedene Matrizen für verschiedene Endomorphismen.
lineare Abb sind äqivalent zu Matrizen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Di 07.04.2009 | | Autor: | Accid |
B und C sind Basen. In dem ersten Beispiel einfach beliebige und in dem zweiten Beispiel die Angegebenen.
Wenn es zwei unterschiedliche Endomorphismen sind, macht das ja nichts aus, da ich ja begründen soll, warum es eine Bijektion zwischen dem Raum der End(V) und dem Raum der nxn-Matritzen gibt.
Allerdings hätte ich ja in dem Beispiel 2 unterschiedliche Endomorphismen und nur eine Darstellende Matrix, die für beide Endomorphismen gleich ist. Folglich wäre es ja keine Bijektion.
Das in der Denkweise gerade ein Fehler ist, ist mir schon bewusst, nur welcher genau?
Wie kann man Begründen, dass es diese Bijektion gibt?
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> Folglich wäre es ja keine
> Bijektion.
>
> Das in der Denkweise gerade ein Fehler ist, ist mir schon
> bewusst, nur welcher genau?
Hallo,
Du mußt hier den Vektorraum V jeweils mit einer Basis bzw. mit zwei Basen betrachten.
Für den Vektorraum V mit den Basen B (im Startraum V) und C im (Zielraum V) gibt es eine Bijektion auf den Raum der nxn-Matrizen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Di 07.04.2009 | | Autor: | Accid |
Achso, dann heißt das also, dass die Basen innerhalb der Endomorphismen immer gleich bleiben.
Beweise ich dann die Bijektion wie immer über Surjektivität und Injektivität? Und vor allem, wie genau? Irgendwie hänge ich hier total fest...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Di 07.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Achso, dann heißt das also, dass die Basen innerhalb der
> Endomorphismen immer gleich bleiben.
>
> Beweise ich dann die Bijektion wie immer über Surjektivität
> und Injektivität? Und vor allem, wie genau? Irgendwie hänge
> ich hier total fest...
Ist dimV < [mm] \infty [/mm] und [mm] \Phi:V \to [/mm] V ein Endomorhismus von V, so gilt:
[mm] \Phi [/mm] ist bijektiv [mm] \gdw \Phi [/mm] ist surjektiv [mm] \gdw \Phi [/mm] ist injektiv [mm] \gdw Kern(\Phi) [/mm] = {0}
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Di 07.04.2009 | | Autor: | Accid |
ok, bedeutet ja, dass ich nur zeigen muss, dass entweder Injektivität oder Surjektivität oder der Kern der Abbildung gleich Null ist, um bijektivität zu beweisen.
Wäre hier doch eigentlich am leichtesten, das Kernkriterium anzuwenden. Die einzige Matrix, die durch die Endomorphismen auf die Nullmatrix abgebildet wird ist ja die Nullmatrix. Folglich ist die dim des Kerns 0, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Di 07.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok, bedeutet ja, dass ich nur zeigen muss, dass entweder
> Injektivität oder Surjektivität oder der Kern der Abbildung
> gleich Null ist, um bijektivität zu beweisen.
>
> Wäre hier doch eigentlich am leichtesten, das Kernkriterium
> anzuwenden. Die einzige Matrix, die durch die
> Endomorphismen auf die Nullmatrix abgebildet wird ist ja
> die Nullmatrix. Folglich ist die dim des Kerns 0, richtig?
Nee. So genau weiß ich nicht was Du meinst
Zur Übung: [mm] \Phi_1, \Phi_2 [/mm] : [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] seien gegeben durch:
[mm] \Phi_1(\vektor{x \\ y}) [/mm] = [mm] \vektor{x+y \\ y}
[/mm]
und
[mm] \Phi_2(\vektor{x \\ y}) [/mm] = [mm] \vektor{x+y \\ 0}
[/mm]
Bestimme die zugeh. Kerne.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 07.04.2009 | | Autor: | Accid |
kern [mm] \Phi_1(\vektor{x \\ y}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
kern [mm] \Phi_2(\vektor{x \\ y}) [/mm] = [mm] \vektor{-\lambda \\ \lambda} [/mm] und [mm] \vektor{\lambda \\ -\lambda}, [/mm] wobei das ja das Selbe ist.
Aber was bringt mir das jetzt genau?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Di 07.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast geschrieben:
"Wäre hier doch eigentlich am leichtesten, das Kernkriterium anzuwenden. Die einzige Matrix, die durch die Endomorphismen auf die Nullmatrix abgebildet wird ist ja die Nullmatrix. Folglich ist die dim des Kerns 0, richtig? "
Da hatte ich den Eindruck, dass Dir nicht klar ist, was der Kern ist
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Di 07.04.2009 | | Autor: | Accid |
Achso, ok :)
Allerdings hab ich dann keine Ahnung, wie ich zeigen kann, dass es eine Bijektion zwischen dem Raum der Endomorphismen End(V) und dem Raum der nxn-Matritzen gibt.
Ich müsste ja zeigen, dass dass jeder Endomorphismus genau eine darstellende Matrix hat und dass die darstellende Matrix von zwei verschiedenen Endomorphismen nicht gleich sein kann. Nur wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Di 07.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei dimV = n.
Wähle eine Basis B von V. Sei [mm] \phi [/mm] ein Endomorphsmus von V. Dann [mm] \phi [/mm] bezügl. der Basis B eine Abbildungsnatrix [mm] A_{\phi} [/mm] (dies ist eine nxn-Matrix).
Definiere [mm] \Phi: [/mm] End(V) [mm] \to [/mm] nxn-Matrizen durch
[mm] \Phi(\phi) [/mm] = [mm] A_{\phi}
[/mm]
und überlege Dir, dass diese [mm] \Phi [/mm] linear und bijektiv ist bijektiv ist.
Was ist [mm] Kern(\Phi) [/mm] ???
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Di 07.04.2009 | | Autor: | Accid |
Langsam kommenw ir meinem Problem schon näher :)
Die Matrix muss eine nxn-Matrix sein, weil es sich um einen Endomorphismus handelt. Also ein Homomorphismus von V->V, richtig (nur zur Sicherheit)
Die Abbildung
[mm] \Phi(\phi) [/mm] = [mm] A_{\phi}
[/mm]
muss linear sein, weil
[mm] \Phi(\phi [/mm] + [mm] \xi) [/mm] = [mm] \Phi(\phi)+\Phi( \xi)=A_{\phi}+A_{\xi}=A_{\phi +\xi}
[/mm]
und
[mm] \Phi(\lambda \phi)=\lambda \Phi(\phi)=\lambda A_{\xi}=A_{\xi \lambda}
[/mm]
ist.
Injektivität:
[mm] \Phi(\phi) [/mm] = [mm] A_{\phi}
[/mm]
Sei [mm] \Phi(\phi)=\Phi(\xi)
[/mm]
Dann ist ja [mm] \Phi(\xi) [/mm] = [mm] A_{\xi} [/mm] = [mm] A_{\phi} \Rightarrow \phi=\xi
[/mm]
Surjektivität:
Sei [mm] a\in A_{\phi}. [/mm] Dann muss a ebenfalls [mm] \in im(\phi) [/mm] sein. Da A eine nxn-Matrix bezüglich eines beliebigen Endomorphimus ist, muss es für jedes a [mm] \in A_{\phi} [/mm] ein [mm] \Phi(\phi) [/mm] geben.
Der [mm] Kern(\Phi) [/mm] ist ja genau der End(V), der auf die Nullmatrix abbildet. Aber welcher genau?
Es gilt ja, dim(V)=dim(im f)+dim(Kern). Die Dimension des Bildes ist ja gerade n. Also müsste die Dimension des Kerns ja Null sein...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Di 07.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Langsam kommenw ir meinem Problem schon näher :)
>
> Die Matrix muss eine nxn-Matrix sein, weil es sich um einen
> Endomorphismus handelt. Also ein Homomorphismus von V->V,
> richtig (nur zur Sicherheit)
Ja
>
> Die Abbildung
> [mm]\Phi(\phi)[/mm] = [mm]A_{\phi}[/mm]
> muss linear sein, weil
>
> [mm]\Phi(\phi[/mm] + [mm]\xi)[/mm] = [mm]\Phi(\phi)+\Phi( \xi)=A_{\phi}+A_{\xi}=A_{\phi +\xi}[/mm]
>
ist das so ?
> und
>
> [mm]\Phi(\lambda \phi)=\lambda \Phi(\phi)=\lambda A_{\xi}=A_{\xi \lambda}[/mm]
>
> ist.
>
ist das so ?
>
> Injektivität:
> [mm]\Phi(\phi)[/mm] = [mm]A_{\phi}[/mm]
>
> Sei [mm]\Phi(\phi)=\Phi(\xi)[/mm]
>
> Dann ist ja [mm]\Phi(\xi)[/mm] = [mm]A_{\xi}[/mm] = [mm]A_{\phi} \Rightarrow \phi=\xi[/mm]
>
> Surjektivität:
> Sei [mm]a\in A_{\phi}.[/mm] Dann muss a ebenfalls [mm]\in im(\phi)[/mm]
> sein. Da A eine nxn-Matrix bezüglich eines beliebigen
> Endomorphimus ist, muss es für jedes a [mm]\in A_{\phi}[/mm] ein
> [mm]\Phi(\phi)[/mm] geben.
Das verstehe wer will
>
>
> Der [mm]Kern(\Phi)[/mm] ist ja genau der End(V), der auf die
> Nullmatrix abbildet. Aber welcher genau?
Na was wohl ? Die Nullabbildung !
FRED
>
> Es gilt ja, dim(V)=dim(im f)+dim(Kern). Die Dimension des
> Bildes ist ja gerade n. Also müsste die Dimension des Kerns
> ja Null sein...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Di 07.04.2009 | | Autor: | Accid |
>> Die Abbildung
>> $ [mm] \Phi(\phi) [/mm] $ = $ [mm] A_{\phi} [/mm] $
>> muss linear sein, weil
>>
>> $ [mm] \Phi(\phi [/mm] $ + $ [mm] \xi) [/mm] $ = $ [mm] \Phi(\phi)+\Phi( \xi)=A_{\phi}+A_{\xi}=A_{\phi +\xi} [/mm] $
>>
>
>ist das so ?
ja. Vielleicht etwas doof aufgeschrieben. So ist es vielleicht besser:
[mm] \Phi(\phi [/mm] + [mm] \xi) [/mm] = [mm] A_{\phi +\xi}=A_{\phi}+A_{\xi} [/mm] (es spielt ja keine Rolle, ob ich erst A bezüglich [mm] \phi [/mm] und A bezüglich [mm] \xi [/mm] schreibe und dann die Matritzen addiere, oder ob ich [mm] \phi [/mm] und [mm] \xi [/mm] addiere und dann die Matrix bezüglich des Ergebnisses schreibe.)
also muss [mm] \Phi(\phi)+\Phi( \xi)=\Phi(\phi [/mm] + [mm] \xi) [/mm]
sein.
Das selbe gilt für die zweite Bedingung, das es unerheblich ist, ob ich erst die Matrix bezüglich des [mm] \lambda \xi [/mm] schreibe, oder ob ich den Skalar [mm] \lambda [/mm] in die Matrix und dann davor ziehe.
Jaja, an Injektivitäts- und Surjektivitätsbeweis hing ich schon immer...
ich versuchs nochmal:
Injektivität: zu zeigen ist ja, dass für alle [mm] a,b\in [/mm] End(V) und falls [mm] \Phi(a)=\Phi(b) [/mm] ist automatisch folgt: a=b
Also es ist ja [mm] \Phi(a)=A_{a}
[/mm]
und [mm] \Phi(b)=A_{b}
[/mm]
Somit müsste auch gelten: [mm] A_{a}=A_{b} [/mm] und diese beiden Matritzen sind ja nur gleich, wenn a=b ist [mm] \rightarrow \Phi [/mm] ist inkjektiv.
Surjektivität:
Zu zeigen ist: [mm] \forall b\in A_{\phi} \exists a\in [/mm] End(V) mit [mm] \Phi(a)=b
[/mm]
Jede nxn-Matrix soll also mindestens einen End(V) darstellen. Das finde ich recht schwer zu beweisen. Ich würde argumentieren, dass die Spalten der Matrix ja die Bilder der Einheitsvektoren bezüglich einer beliebigen Basis von V sind. Ändert man die Werte der Matrix, dann ändert sich auch der Endomorphismus. Allerdings ist der ja dann immer noch [mm] \in [/mm] End(V). Aber so ganz reicht das glaub nicht...
Das mit dem Kern ist klar, danke :)
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Hallo,
als allererstes: bitten schreib nie wieder "Matritzen". Der Plural von Matrix heißt Matrizen.
> >> Die Abbildung
> >> [mm]\Phi(\phi)[/mm] = [mm]A_{\phi}[/mm]
> >> muss linear sein, weil
> >>
> >> [mm]\Phi(\phi[/mm] + [mm]\xi)[/mm] = [mm]\Phi(\phi)+\Phi( \xi)=A_{\phi}+A_{\xi}=A_{\phi +\xi}[/mm]
>
> >>
>
> >
> >ist das so ?
>
> ja. Vielleicht etwas doof aufgeschrieben. So ist es
> vielleicht besser:
> [mm]\Phi(\phi[/mm] + [mm]\xi)[/mm] = [mm]A_{\phi +\xi}=A_{\phi}+A_{\xi}[/mm] (es
> spielt ja keine Rolle, ob ich erst A bezüglich [mm]\phi[/mm] und A
> bezüglich [mm]\xi[/mm] schreibe und dann die Matritzen addiere, oder
> ob ich [mm]\phi[/mm] und [mm]\xi[/mm] addiere und dann die Matrix bezüglich
> des Ergebnisses schreibe.)
Das ist Gelaber.
Du mußt hier schon ins Feld führen, daß [mm] A_{\phi} [/mm] und [mm] A_{\xi} [/mm] die darstellenden Matrizen der linearen Abbildungen [mm] \varphi [/mm] und [mm] \xi [/mm] sind.
Die haben ja eine bestimmte Machart: in den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren.
Mit [mm] B=(b_1, b_2) [/mm] ist [mm] A_{\varphi}=\pmat{\varphi(b_1)& \varphi(b_2)}.
[/mm]
Dies mußt Du auch später bei der Injektivität verwenden, wenn Du überzeugen willst.
So wie es jetzt dasteht, glaube ich Dir nicht.
Gruß v. Angela
>
> also muss [mm]\Phi(\phi)+\Phi( \xi)=\Phi(\phi[/mm] + [mm]\xi)[/mm]
> sein.
>
> Das selbe gilt für die zweite Bedingung, das es unerheblich
> ist, ob ich erst die Matrix bezüglich des [mm]\lambda \xi[/mm]
> schreibe, oder ob ich den Skalar [mm]\lambda[/mm] in die Matrix und
> dann davor ziehe.
>
>
> Jaja, an Injektivitäts- und Surjektivitätsbeweis hing ich
> schon immer...
>
> ich versuchs nochmal:
>
> Injektivität: zu zeigen ist ja, dass für alle [mm]a,b\in[/mm] End(V)
> und falls [mm]\Phi(a)=\Phi(b)[/mm] ist automatisch folgt: a=b
>
> Also es ist ja [mm]\Phi(a)=A_{a}[/mm]
> und [mm]\Phi(b)=A_{b}[/mm]
>
> Somit müsste auch gelten: [mm]A_{a}=A_{b}[/mm] und diese beiden
> Matritzen sind ja nur gleich, wenn a=b ist [mm]\rightarrow \Phi[/mm]
> ist inkjektiv.
>
>
> Surjektivität:
> Zu zeigen ist: [mm]\forall b\in A_{\phi} \exists a\in[/mm] End(V)
> mit [mm]\Phi(a)=b[/mm]
>
> Jede nxn-Matrix soll also mindestens einen End(V)
> darstellen. Das finde ich recht schwer zu beweisen. Ich
> würde argumentieren, dass die Spalten der Matrix ja die
> Bilder der Einheitsvektoren bezüglich einer beliebigen
> Basis von V sind. Ändert man die Werte der Matrix, dann
> ändert sich auch der Endomorphismus. Allerdings ist der ja
> dann immer noch [mm]\in[/mm] End(V). Aber so ganz reicht das glaub
> nicht...
>
>
> Das mit dem Kern ist klar, danke :)
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Accid |
Ah, ok. Dankeschön.
Injektivität und Linearität sind klar. Aber wie würde man Surjektivität Beweisen? Wie schon geschrieben müsste ich ja zeigen, dass es zu jeder nxn-Matrix einen Endomorphismus gibt. Anders ausgedrückt heißt das ja, dass ja das Bild meines Basisvektors, also die Spalten der Matrix nur von meinem Endomorphismus abhängig sind. Wenn ich z.B. die Basis wie bei dir oben verwende (also $ [mm] B=(b_1, b_2) [/mm] $ ), dann kann ich ja indem ich den Endomorphismus ändere jedes beliebige Bild der Basisvektoren erzeugen. Folglich muss jede nxn-Matrix die darstellende Matrix bezüglich eines Endomorphismus sein...
kommt mir aber irgendwie wieder wie gelaber vor...
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> Aber wie würde man
> Surjektivität Beweisen? Wie schon geschrieben müsste ich ja
> zeigen, dass es zu jeder nxn-Matrix einen Endomorphismus
> gibt. Anders ausgedrückt heißt das ja, dass ja das Bild
> meines Basisvektors, also die Spalten der Matrix nur von
> meinem Endomorphismus abhängig sind. Wenn ich z.B. die
> Basis wie bei dir oben verwende (also [mm]B=(b_1, b_2)[/mm] ), dann
> kann ich ja indem ich den Endomorphismus ändere jedes
> beliebige Bild der Basisvektoren erzeugen. Folglich muss
> jede nxn-Matrix die darstellende Matrix bezüglich eines
> Endomorphismus sein...
>
> kommt mir aber irgendwie wieder wie gelaber vor...
Hallo,
man muß es etwas zurechtzupfen.
Nimm Dir irgendeine nxn- Matrix [mm] A:=\pmat{a_1&...&a_n}, (a_i [/mm] Spaltenvektoren)
Nun ist doch durch [mm] \varphi(b_1):=a_1 [/mm] ein Endomarphismus eindeutig bestimmt, also ist A das Bild von [mm] \varphi.
[/mm]
Auf diese Weise findet man zu jeder Matrix einen Endomorphismus, der darauf abgebildet wird.
(Eine andere Möglichkeit: falls Du Dir sicher bist, daß der Matrizenraum und der Raum der Endomorphismen dieselbe endliche Dimension haben, dann bist Du ja schon mit dem Nachweis der Injektivität fertig, da aus dieser die Surjektivität folgt.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Accid |
Ah, ok. Das aus Injetivität direkt Surjektivität folgt, war mir schon klar, aber ich wollte unbedingt den Surjektivtätsbeweis machen, weil ich damit öfters schwierigkeiten habe.
Danke für die nette Hilfe :)
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