Endzustand einer Markowkette < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe eine Markowkette, die einen Spiel beschreibt. In dieser Markowkette habe ich zwei absorbierende Zustände.
Zustand 4 ist Gewinn und Zustand 5 ist Verlust.
Ich habe folgende Übergangsmatrix P.
| 0 0.3 0.3 0 0 |
| 0.5 0 0.2 0 0 |
| 0.5 0.3 0 0 0 |
| 0 0 0.5 1 0 |
| 0 0.4 0 0 1 |
Man erkennt hier deutlich die absorbierenden Zustände. |
Nun möchte ich wissen wenn man am Anfang den Zustand 1 hat.
p0 = | 1 0 0 0 0 [mm] |^T
[/mm]
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man und mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert man.
Also [mm] p\infty [/mm] = ?
Numerisch habe ich das schon gelöst. Gewinn mit ca. 57,52% und Verlust mit ca. 42,48%.
Ich würde jetzt nur noch gerne wissen, wie man dort evtl. hinkommt ohne es numerisch zu lösen.
Vielleicht hat ja jemand einen Tipp für mich.
P * pf = pf funktioniert hier leider nicht :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Fr 11.05.2012 | | Autor: | mathecoach |
Entschuldigung.
Jetzt bin ich doch selber auf eine Lösung gekommen. Man sieht manchmal den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Nach der Mittelwertsregel muss gelten
p1 = 0,5p3 + 0,5p2
p2 = 0,3p1 + 0,3p3
p3 = 0,5 + 0,3p1 + 0,2p2
Da kommt auch mein numerisch gerechnetes Ergebnis raus.
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Man kann die 1. Mittelwertsregel für rein-absorbierende Markowketten auch matrizentheoretisch darstellen:
Die (3x3)-Teilmatrix, die von p_11 bis p_33 von den 1-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten aufgespannt wird, ist die Matrix der transienten Zustände, nennen wir sie T.
Die (2x3)-Teilmatrix, die von p_41 bis p_53 aufgespannt wird, ist die Teilmatrix der direkten Übergänge von einem transienten in einen absorbierenden Zustand, nennen wir sie Q.
Die Matrix Qx(I-T)^(-1) enthält dann die sog. Absorptionsw'keiten: vom Zustande 1 ausgehend sind sie 65/113 und 48/113.
Die Matrix (I-T)^(-1) wird auch als Fundamentalmatrix der zugehörigen rein-absorbierenden Markow-Kette bezeichnet.
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Hallo mathecoach,
> Ich habe eine Markowkette, die einen Spiel beschreibt. In
> dieser Markowkette habe ich zwei absorbierende Zustände.
>
> Zustand 4 ist Gewinn und Zustand 5 ist Verlust.
>
> Ich habe folgende Übergangsmatrix P.
>
> | 0 0.3 0.3 0 0 |
> | 0.5 0 0.2 0 0 |
> | 0.5 0.3 0 0 0 |
> | 0 0 0.5 1 0 |
> | 0 0.4 0 0 1 |
>
> Man erkennt hier deutlich die absorbierenden Zustände.
> Nun möchte ich wissen wenn man am Anfang den Zustand 1
> hat.
>
> p0 = | 1 0 0 0 0 [mm]|^T[/mm]
>
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man und mit welcher
> Wahrscheinlichkeit verliert man.
>
> Also [mm]p\infty[/mm] = ?
>
> Numerisch habe ich das schon gelöst. Gewinn mit ca. 57,52%
> und Verlust mit ca. 42,48%.
>
> Ich würde jetzt nur noch gerne wissen, wie man dort evtl.
> hinkommt ohne es numerisch zu lösen.
>
Dazu benötigst folgende Darstellung:
[mm]P=S^{-1}DS[/mm]
,wobei D eine Diagonalmatrix ist,
die aus den Eigenwerten von P besteht.
S ist dann eine Jordanbasis.
Dann ist [mm]P^{n}=S^{-1}D^{n}S[/mm]
> Vielleicht hat ja jemand einen Tipp für mich.
>
> P * pf = pf funktioniert hier leider nicht :(
Gruss
MathePower
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