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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mi 30.03.2011 | | Autor: | medion |
| Aufgabe | Eine Person mit einem ursprünglichen Vermögen W hat Präferenzen, die mit der Nutzenfunktion U(W) = log(W) beschrieben sind.
Bei einem Münzwurf gewinnt diese Person einen Betrag x, wenn die Münze, mit einer Wahrscheinlichkeit von r, Kopf zeigt. Andernfalls – bei Zahl – muss sie diesen Betrag x jedoch bezahlen.
a) Was ist das optimale x als Funktion von r?
b) Wie hängt die Lösung vom ursprünglichen Vermögen W ab?
c) Was ist die Lösung für eine faire Münze (r=0,5)?
d) Wie kann die Risikoeinstellung dieser Person charakterisiert werden? |
Hallo!
Ich hänge bei dieser Aufgabe etwas (vor allem bei den Punkten a-c, da diese zusammenhängen) und hoffe, dass mir jemand ein klein wenig helfen kann:
Bei a) handelt es sich um eine Entscheidung unter Unsicherheit und in weiterer Folge um eine Entscheidung unter Ungewissheit, da man die genaue Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Umweltzustandes nicht kennt (im Gegensatz zu c), wo die Wahrscheinlichkeiten bekannt sind). Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich diese Funktion mathematisch ausdrücken soll; mündlich würde ich sie so beschreiben: man will den Nutzen von x mit der Wahrscheinlichkeit r plus den Nutzen von -x mit der Gegenwahrscheinlichkeit (1-r) maximieren. Kann das so stimmen? Wenn ja, wie drücke ich das mathematisch aus?
So in etwa: max [u(x*r) + u((-x)*(1-r))] ? Oder ist bei Punkt a) was ganz anderes gefragt?
Bei b) habe ich überhaupt keine Ahnung, worauf die Frage abzielen soll. Vielleicht: Je höher das ursprüngliche Vermögen W, desto niedriger mein Nutzen aus x, da es sich um eine log-Funktion (konkav) handelt?
Bei c) komm ich auch nicht weiter. Ich habe jetzt zwar die Eintrittswahrscheinlichkeiten gegeben, jedoch weiß ich nicht, was hier als "Lösung" verlangt wird? Einfach bei der Funktion, nach der bei a) gefragt wurde, 0,5 anstatt r einsetzen?
Der Unterpunkt d) ist mir jedoch klar: nachdem es sich um eine log-Funktion handelt (konkav) ist der Investor risikoavers -> abnehmender Nutzen bei steigendem Betrag.
Ich habe dieses Beispiel auf keiner anderen Plattform gepostet.
Ich bedanke mich im Voraus für Antworten zu meinem Problem.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Mi 30.03.2011 | | Autor: | meili |
Hallo medion,
> Eine Person mit einem ursprünglichen Vermögen W hat
> Präferenzen, die mit der Nutzenfunktion U(W) = log(W)
> beschrieben sind.
> Bei einem Münzwurf gewinnt diese Person einen Betrag x,
> wenn die Münze, mit einer Wahrscheinlichkeit von r, Kopf
> zeigt. Andernfalls – bei Zahl – muss sie diesen Betrag
> x jedoch bezahlen.
> a) Was ist das optimale x als Funktion von r?
> b) Wie hängt die Lösung vom ursprünglichen Vermögen W
> ab?
> c) Was ist die Lösung für eine faire Münze (r=0,5)?
> d) Wie kann die Risikoeinstellung dieser Person
> charakterisiert werden?
> Hallo!
>
> Ich hänge bei dieser Aufgabe etwas (vor allem bei den
> Punkten a-c, da diese zusammenhängen) und hoffe, dass mir
> jemand ein klein wenig helfen kann:
>
> Bei a) handelt es sich um eine Entscheidung unter
> Unsicherheit und in weiterer Folge um eine Entscheidung
> unter Ungewissheit, da man die genaue Wahrscheinlichkeit
> für den Eintritt eines Umweltzustandes nicht kennt (im
> Gegensatz zu c), wo die Wahrscheinlichkeiten bekannt sind).
Die Wahrscheinlichkeit kennt man, bei a) ist sie r und bei c) ist die Wahrscheinlichkeit 0,5.
> Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich diese
> Funktion mathematisch ausdrücken soll; mündlich würde
> ich sie so beschreiben: man will den Nutzen von x mit der
> Wahrscheinlichkeit r plus den Nutzen von -x mit der
> Gegenwahrscheinlichkeit (1-r) maximieren. Kann das so
> stimmen? Wenn ja, wie drücke ich das mathematisch aus?
> So in etwa: max [u(x*r) + u((-x)*(1-r))] ? Oder ist bei
> Punkt a) was ganz anderes gefragt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau das ist es.
c) ist nur ein Spezialfall von a) bei dem eben r = 0,5 ist.
>
> Bei b) habe ich überhaupt keine Ahnung, worauf die Frage
> abzielen soll. Vielleicht: Je höher das ursprüngliche
> Vermögen W, desto niedriger mein Nutzen aus x, da es sich
> um eine log-Funktion (konkav) handelt?
Beim 1. Münzwurf kann x maximal so groß sein wie W, denn wenn es nicht klappt, muss er x bezahlen (Ausser er ist Bänker..., - ach nein keine Polemik).
Wie wirkt sich das aus?
>
> Bei c) komm ich auch nicht weiter. Ich habe jetzt zwar die
> Eintrittswahrscheinlichkeiten gegeben, jedoch weiß ich
> nicht, was hier als "Lösung" verlangt wird? Einfach bei
> der Funktion, nach der bei a) gefragt wurde, 0,5 anstatt r
> einsetzen?
Genau.
>
> Der Unterpunkt d) ist mir jedoch klar: nachdem es sich um
> eine log-Funktion handelt (konkav) ist der Investor
> risikoavers -> abnehmender Nutzen bei steigendem Betrag.
>
> Ich habe dieses Beispiel auf keiner anderen Plattform
> gepostet.
>
> Ich bedanke mich im Voraus für Antworten zu meinem
> Problem.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mi 30.03.2011 | | Autor: | medion |
Hallo Meili!
Danke für Deine Hilfe! Das hat mir sehr geholfen!
Noch kurz zu den Unklarheiten:
b) Die Frage lautet: Wie hängt die Lösung vom ursprünglichen Vermögen W ab? Das heißt, wie hängt max [u(x*r) + u((-x)*(1-r))] von W ab. Ich weiß einfach nicht, wie ich das beantworten soll (bloß mit Wörter oder mathematisch). Steh im Moment völlig am Schlauch... Das Vermögen W wächst oder schrumpft maximal um 100% abhängig vom Ausgang des Münzwurfes.
c) wenn man jetzt 0,5 anstatt r einsetzt kommt man zu: max [u(0,5x) + u(-0,5x)] -> ist das die Lösung, oder muss hier noch was gemacht werden? Hebt sich das vielleicht auf und hätte man somit: max [u(0)]=>0 ?
Nochmals danke für Deine Hilfe!
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> max [u(x*r) + u((-x)*(1-r))]
stimmt auch nicht.
Wir sind in Periode 1 (vor dem Münzwurf) und wollen unser Wohlergehen in Periode 2 (nach dem Münzwurf) optimieren.
Unser Nutzen in Periode 2 ist [mm] $u(W_2)$, [/mm] wobei [mm] $W_2$ [/mm] unser Vermögen in Periode 2 ist. Das kann nun 2 Zustände annehmen:
$u(W+x)~$, gewinnen wir, haben wir nämlich ein Vermögen von W+x, oder
$u(W-x)~$, der Nutzen von unserem Vermögen, wenn wir verlieren.
Unser Nutzen in Periode 2, [mm] $u(W_2)$, [/mm] ist zufällig, aber wir können dafür sorgen, daß der Nutzen, den wir *erwarten* maximal ist:
[mm] $\max_{x\in [0,W)} E[u(W_2)].
[/mm]
Zustand u(W+x) tritt mit Wkeit r ein, Zustand u(W-x) mit Wkeit (1-r). Der Erwartungsnutzen ist also
[mm] $E[u(W_2)]=r*u(W+x)+(1-r)*u(W-x)=r*\log(W+x) [/mm] + [mm] (1-r)*\log(W-x).$
[/mm]
Das maximierst Du jetzt für [mm] $x\in [/mm] [0,W)$ (wir können nicht weniger als 0 setzen und [mm] $\log(x)$ [/mm] erlaubt kein Vermögen von 0 oder weniger). Ableitung gleich 0 setzen, schauen ob da ein Maximum rauskommt.
> Bei b) habe ich überhaupt keine Ahnung, worauf die Frage abzielen soll. Vielleicht: Je höher das ursprüngliche Vermögen W, desto niedriger mein Nutzen aus x, da es sich um eine log-Funktion (konkav) handelt?
Nein. Der Logarithmus ist streng monoton steigend, also:
Je höher das Vermögen, desto höher der Nutzen: $x>y\ [mm] \Rightarrow \log(x)>\log(y)$
[/mm]
Je höher das Vermögen desto geringer der *Anstieg* der Nutzenfunktion. Das ist was fundamental anderes. Speziell ergibt sich b) aus der Lösung von a).
> Bei c) komm ich auch nicht weiter. Ich habe jetzt zwar die Eintrittswahrscheinlichkeiten gegeben, jedoch weiß ich nicht, was hier als "Lösung" verlangt wird? Einfach bei der Funktion, nach der bei a) gefragt wurde, 0,5 anstatt r einsetzen?
Ja.
> Der Unterpunkt d) ist mir jedoch klar: nachdem es sich um eine log-Funktion handelt (konkav) ist der Investor risikoavers -> abnehmender Nutzen bei steigendem Betrag.
Siehe b). Mit steigendem W steigt auch der Nutzen. Er ist aber risikoavers, das stimmt.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mi 30.03.2011 | | Autor: | medion |
Danke, jetzt hab ichs kapiert!
Wir müssen nur die Maximierungs-Funktion anschreiben - Ableiten und Maximum ausrechnen würde den Rahmen dieses Kurses sprengen (Ist ein Finance-Kurs).
bezüglich c)
wenn ich 0,5 anstatt r einsetze, bekomme ich:
max [0,5*u(w+x) + 0,5*u(w-x)] = max [0,5*log(w+x) + 0,5*log(w-x)]
Kann man das noch zu folgendem zusammenfassen?
max [0,5*log(w+x) + 0,5*log(w-x)] = max [0,5*log[(w+x)*(w-x)]]
= max [0,5*log(w²-x²)]
Oder geht das nicht?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Do 31.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> = max [0,5*log(w²-x²)]
Das stimmt, Du kannst sogar noch wesentlich weiter gehen:
[mm] $\max [0.5*\log(W^2-x^2)] [/mm] = [mm] 0.5*\max [\log(W^2-x^2)]=0.5*\log(\max [W^2-x^2])$
[/mm]
(wieso?)
Und wieso war das Ergebnis zu erwarten?
ciao
Stefan
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