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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
f: [mm] \R^{+} [/mm] x [mm] \R^{+}, (x,y)\mapsto \bruch{x-y}{x+y}.
[/mm]
Entwickeln sie f um (1,1) bis zur Ordnung 2 |
Hallo ihr,
Taylorentwicklungen sind mir ein Rätsel, könnte mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen mit einem Ansatz? Was muss zuerst gemacht werden und was genau muss eingesetzt werden?
Vielen Dank im Voraus, ich hoffe die Frage ist nicht zu dumm.
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Hallo Mirage.Mirror,
> Gegeben sei die Funktion
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> f: [mm]\R^{+}[/mm] x [mm]\R^{+}, (x,y)\mapsto \bruch{x-y}{x+y}.[/mm]
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> Entwickeln sie f um (1,1) bis zur Ordnung 2
> Hallo ihr,
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> Taylorentwicklungen sind mir ein Rätsel, könnte mir
> vielleicht jemand auf die Sprünge helfen mit einem Ansatz?
> Was muss zuerst gemacht werden und was genau muss
> eingesetzt werden?
Zuerst benötigst Du die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2
([mm]f_{x},f_{y},f_{xx},f_{xy},f_{yy}[/mm])
Bilde dann den Wert der Funktion bzw. ihrer partiellen Ableitungen
an der Stelle (1,1).
Setze jetzt diese in die Taylorsche Formel ein.
>
> Vielen Dank im Voraus, ich hoffe die Frage ist nicht zu
> dumm.
Gruß
MathePower
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Ich habe herausbekommen:
[mm] f_{x}= \bruch{2y}{(x+y)²}
[/mm]
[mm] f_{xx}=\bruch{-4xy -4y²}{(x+y)²}
[/mm]
[mm] f_{xy}=\bruch{2(x+y)² -4y² -4xy}{(x+y)^{4}}
[/mm]
[mm] f_{y}= \bruch{-2x}{(x+y)²}
[/mm]
[mm] f_{yy}=\bruch{4x² + 4xy}{(x+y)^{4}}
[/mm]
[mm] f_{yx}=\bruch{-2(x+y)² + 4x² + 4xy}{(x+y)²}
[/mm]
Bei [mm] f_{yx} [/mm] und [mm] f_{xy} [/mm] bin ich unsicher, müsste das nicht eigentlich das gleiche sein?
Muss ich jetzt überall "nur" x=1 und y=1 setzen?
Also
[mm] f_{x}= \bruch{2}{4}
[/mm]
[mm] f_{xx}=\bruch{-8}{16}
[/mm]
[mm] f_{xy}=0
[/mm]
[mm] f_{y}= \bruch{-2}{4}
[/mm]
[mm] f_{yy}=\bruch{8}{16}
[/mm]
[mm] f_{yx}=0
[/mm]
Und wo setzte ich das nochmal ein?
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Hallo Mirage.Mirror,
> Ich habe herausbekommen:
>
> [mm]f_{x}= \bruch{2y}{(x+y)²}[/mm]
> [mm]f_{xx}=\bruch{-4xy -4y²}{(x+y)²}[/mm]
>
> [mm]f_{xy}=\bruch{2(x+y)² -4y² -4xy}{(x+y)^{4}}[/mm]
>
> [mm]f_{y}= \bruch{-2x}{(x+y)²}[/mm]
> [mm]f_{yy}=\bruch{4x² + 4xy}{(x+y)^{4}}[/mm]
>
> [mm]f_{yx}=\bruch{-2(x+y)² + 4x² + 4xy}{(x+y)²}[/mm]
>
> Bei [mm]f_{yx}[/mm] und [mm]f_{xy}[/mm] bin ich unsicher, müsste das nicht
> eigentlich das gleiche sein?
Ja, wenn Du [mm]f_{xy}[/mm] und [mm]f_{yx}[/mm] ausmultiplizierst,
dann sind die auch gleich.
>
> Muss ich jetzt überall "nur" x=1 und y=1 setzen?
Ja.
>
> Also
> [mm]f_{x}= \bruch{2}{4}[/mm]
> [mm]f_{xx}=\bruch{-8}{16}[/mm]
> [mm]f_{xy}=0[/mm]
>
> [mm]f_{y}= \bruch{-2}{4}[/mm]
> [mm]f_{yy}=\bruch{8}{16}[/mm]
> [mm]f_{yx}=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und wo setzte ich das nochmal ein?
In die Formel für das Taylorpolynom im Mehrdimensionalen.
Gruß
MathePower
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