Entwicklung von (1+h)^(1/h) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] $0\ne [/mm] |h|<1$. Zeigen Sie: Es existiert eine konvergente Entwicklung [mm] $$(1+h)^\frac{1}{h}=e+\sum_{k=1}^\infty a_kh^k$$ [/mm] |
Ich verzweifle an dieser Aufgabe. Die Aufgabe ist wohl ein erster Schritt dazu, die Zahl $e$ mit einem Extrapolationsverfahren zu approximieren.
Ich habe folgendes versucht: [mm] $$(1+h)^\frac{1}{h}=\exp\left(\frac{1}{h}\ln(1+h)\right) [/mm] = [mm] \exp\left(-\frac{1}{h}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}h^k\right) [/mm] = [mm] \exp\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}h^k\right) [/mm] = [mm] \exp\left(1+\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}h^k\right)$$
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter. Klar, jetzt könnte ich noch die Exponentialreihe reinbringen; aber dann habe ich ja zwei Summen, die bis unendlich laufen und die eine davon ist auch noch eine Potenz vom Laufindex der anderen ...
Ist der Ansatz schon komplett falsch? Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Vielen lieben Dank vorab an jeden der versucht zu helfen.
Gruß
Differential
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Ich zerbreche mir schon seit geraumer Zeit den Kopf an dieser Aufgabe. Jede Idee/Anregung und jeder Kommentar könnte mir weiterhelfen.
Bitte schreibt mir auch, wenn ihr denkt, dass die Aufgabe nicht zu lösen ist.
Gruß
Differential
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Di 28.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du zeigen kannst, dass die Summedurch durch n! eine Nullfolge istkannst du ddie exponentialreihe doch einfach [mm] hinschreiben.\sum^n/n! [/mm] hat doch für [mm] h^n [/mm] nur einen Wert
nimm den mal und addier die werte auf wenn sie dann durch n! noch eine Nullfolge sind bist du fertig. amfang [mm] e*(1+\summe_{n=1}^{n} (\summe_{k=1}^{\infty},,,)^n/n!
[/mm]
[mm] jetzt(\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}h^k) [/mm] ^n
den Faktor von [mm] h^m [/mm] berechnen, usw
ich hab keine Zeit und Lust dazu, aber du musst ja nur fesstellen ob die so erreichten Koeffizienten eine Nullfolge bilden.
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:11 Mi 29.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Falls Du Hilfsmittel aus der Funktionentheorie einbringen darfst, schlage ich folgendes vor:
Es sei D die offene Einheitskreisscheibe in [mm] \IC.
[/mm]
Die Potenzreihe [mm] 1+\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}z^k [/mm] hat den Kovergenzradius 1, stellt also eine auf D holomorphe Funktion dar.
Damit ist [mm] $f(z):=\exp(1+\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}z^k)$ [/mm] ebenfalls auf D holomorph.
Also lässt sich f auf D als Potenzreihe darstellen:
[mm] $f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k*z^k$ [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] D.
Ist nun h [mm] \in \IR [/mm] und 0<|h|<1, so ist
[mm] (1+h)^\frac{1}{h}=f(h)=\sum_{k=0}^\infty a_k*h^k=a_0+\sum_{k=1}^\infty a_k*h^k=e+\sum_{k=1}^\infty a_k*h^k$
[/mm]
FRED
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