Entwicklungssatz von Laplace < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Fr 10.07.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Man zeige mit Hilfe des Entwicklungssatzes von Laplace, dass für x, y ∈ [mm] \IR [/mm] gilt:
det
[mm] \pmat{x & y & 0 & 1 \\ -y & x & -1 & 0 \\ 0 & 1 & x & -y \\ -1 & 0 & y & x}= (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] 1)^2 [/mm] |
[mm] \pmat{x & y & 0 & 1 \\ -y & x & -1 & 0 \\ 0 & 1 & x & -y \\ -1 & 0 & y & x} [/mm] = [mm] x*det\pmat{ x & -1 & 0 \\ 1 & x & -y \\ 0 & y & x}-y*det\pmat{ -y & -1 & 0 \\ 0 & x & -y \\ -1 & y & x}+0*det\pmat{ -y & x & 0 \\ 0 & 1 & -y \\ -1 & 0 & x}+1*det\pmat{ -y & x & -1 \\ 0 & 1 & x \\ -1 & x & y} [/mm] = [mm] x*(x^3+xy^2+x)-y(x^2y-y-y^3)+0+(-y^2-x^2-1) [/mm] = [mm] x^4+2x^2y^2+y^4+1
[/mm]
[mm] \not=
[/mm]
[mm] x^4+2x^2y^2+2x^2+2y^2+y^4+1
[/mm]
[mm] =(x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] 1)^2
[/mm]
Habe ich die Aufgabe richtig gerechnet ? Könnte Sie jemand nachrechnen ? Danke im Voraus.
Gruß
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> Man zeige mit Hilfe des Entwicklungssatzes von Laplace,
> dass für x, y ∈ [mm]\IR[/mm] gilt:
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> det
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> [mm]\pmat{x & y & 0 & 1 \\ -y & x & -1 & 0 \\ 0 & 1 & x & -y \\ -1 & 0 & y & x}= (x^2[/mm]
> + [mm]y^2[/mm] + [mm]1)^2[/mm]
> [mm]\pmat{x & y & 0 & 1 \\ -y & x & -1 & 0 \\ 0 & 1 & x & -y \\ -1 & 0 & y & x}[/mm]
> = [mm]x*det\pmat{ x & -1 & 0 \\ 1 & x & -y \\ 0 & y & x}-y*det\pmat{ -y & -1 & 0 \\ 0 & x & -y \\ -1 & y & x}+0*det\pmat{ -y & x & 0 \\ 0 & 1 & -y \\ -1 & 0 & x}+1*det\pmat{ -y & x & -1 \\ 0 & 1 & x \\ -1 & x & y}[/mm]
Hallo,
bis hier ist es richtig.
Beim Berechnen der [mm] 3\times [/mm] 3-Matrizen sind Dir Fehler unterlaufen.
LG Angela
> = [mm]x*(x^3+xy^2+x)-y(x^2y-y-y^3)+0+(-y^2-x^2-1)[/mm] =
> [mm]x^4+2x^2y^2+y^4+1[/mm]
> [mm]\not=[/mm]
> [mm]x^4+2x^2y^2+2x^2+2y^2+y^4+1[/mm]
> [mm]=(x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]1)^2[/mm]
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> Habe ich die Aufgabe richtig gerechnet ? Könnte Sie jemand
> nachrechnen ? Danke im Voraus.
>
> Gruß
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