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Epimorphismus, Defekt, Rang: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Mi 03.12.2008
Autor: uniklu

Aufgabe
U [mm] \le [/mm] V, (U ist Teilraum von V), [mm] \pi: [/mm] V -> V/U mit [mm] \pi(x) [/mm] = x + U
a) Zeige: [mm] \pi [/mm] ist ein Epimorphismus auf V/U mit [mm] ker(\pi) [/mm] = U
b) [mm] def(\pi) [/mm] = dim(U), [mm] rg(\pi) [/mm] = dim(V) - dim(U).

Hallo!

Ich habe hier Probleme mit dem Verständnis der Faktormenge V/U. Wie sieht die aus?
Könntet ihr mir bitte einen Starthinweis für diese 3 Beweise geben?
Stehe hier leider auch etwas daneben und versuche mich schon einige Stunden daran.

lg

        
Bezug
Epimorphismus, Defekt, Rang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Mi 03.12.2008
Autor: angela.h.b.


> U [mm]\le[/mm] V, (U ist Teilraum von V), [mm]\pi:[/mm] V -> V/U mit [mm]\pi(x)[/mm] =
> x + U
>  a) Zeige: [mm]\pi[/mm] ist ein Epimorphismus auf V/U mit [mm]ker(\pi)[/mm] =
> U
>  b) [mm]def(\pi)[/mm] = dim(U), [mm]rg(\pi)[/mm] = dim(V) - dim(U).
>  Hallo!
>  
> Ich habe hier Probleme mit dem Verständnis der Faktormenge
> V/U. Wie sieht die aus?

Hallo,

die Faktormenge enthält sämtliche Elemente der Gestalt  [mm] v+U:={v+u|u\in U\}, [/mm] wobei [mm] v\in [/mm] V.

Somit ist die Faktormenge eine Menge von Mengen.

Auf der Faktormenge  definiert man in naheliegender Weise eien Addition und Multiplikation mit Körperelementen (nachschlagn), damit wird die Menge zu einem Vektorraum.

>  Könntet ihr mir bitte einen Starthinweis für diese 3
> Beweise geben?

Zu allererst mußt Du Dich noch ein bißchen vertraut machen mit dem Faktorraum (auch: Quotientenraum.)


Für Aufgabe a) wäre zunächstmal wichtig zu wissen, was die Null in V / U ist, vorher kann man ja keinen Kern berechnen.

Was ist die Null?

Wenn Du sie hast. wo ist das Problem bei der Berechnung des Kerns?

>  Stehe hier leider auch etwas daneben und versuche mich
> schon einige Stunden daran.

zu b)

Der Defekt ist doch die Dimension des Kerns.

Überlege Dir hierfür eine Basis  des Kerns.

der Rest ergibt sich nach dem Kern-Bild-Satz.

Gruß v. Angela






Bezug
                
Bezug
Epimorphismus, Defekt, Rang: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:11 Mi 03.12.2008
Autor: uniklu

Hallo!


------------
Satz über den Quotientenraum: ist U ein Unterraum von V, so kann man Addition und skalares Vielfaches von Nebenklassen definieren durch
(1) (a + U) + (b + U) := (a + b) + U
(2) x(a + U) := xa + U        für alle x [mm] \in [/mm] K
Diese beiden Definitionen sind unabhängig von der Wahl der Vertreter a und b.
Die Menge V/U := [mm] \{a + U : a \in V\} \subset [/mm] V.
-------------

Soweit so gut.
Bezüglich der Null:
Ich konnte leider nirgendwo etwas handfestes finden - ich denke das Element in V/U ist U.
wenn ich also einen Nullvektor aus V wähle gilt doch [mm] \pi(0) [/mm] = 0 + U = U.

Hmm wo liegt das Problem bei der Berechnung....
Weiß ich nicht, tut mir leid. auch nach 1h stöbern in der bibliothek konnte ich nichts finden.

Bitte um weitere Tipps

lg

Bezug
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