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| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktionen mit Hilfe der Epsilon-Delta-Definition auf Stetigkeit auf ganz [mm] \IR [/mm] :
(a) f1(x) := [mm] \bruch{1}{1+|x|}
[/mm]
(b) f2(x) := [mm] \bruch{1}{1+|x|^{3}}
[/mm]
(c) f3(x) := [mm] \wurzel[4]{|x|}
[/mm]
(d) f4(x) := [mm] e^{x}-1 [/mm] falls x [mm] \in \IQ
[/mm]
x falls x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] |
Hallo!
Kann mir evtl. jemand erklären, was man genau unter der Epsilon-Delta-Definition versteht und wie man damit Funktionen auf Stetigkeit untersucht?
Vielleicht auch an einem Beispiel.
Muss nämlich diese Aufgabe lösen und die (d) abgeben.
Hoffe, dass mir jemand helfen kann!
Danke!
Jenny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 So 18.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo jenny
Wenn du Stetigkeit überhaupt kennst, musst du eigentlich auch die [mm] \varepsilon \delta [/mm] Definition kennen. Jedes Analysisbuch enthält si, also schlag einfach unter Stetigkeit nach!
hier musst du zu jeder der gegebenen Funktionen zu einem beliebig vorgegebenen [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta [/mm] finden, so das die Differenz der Funktionswerte kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist, wenn der Abstand der x Werte kleiner [mm] \delta [/mm] ist. Anschaulich: wenn ich nur die x Werte nahe genug beieinander wähle unterscheiden sich auch die Funktionswerte nich sehr.
Formal: aus [mm] |x-x0|<\delta [/mm] folgt [mm] |f(x)-f(x0)|<\varepsilon. [/mm] Und du musst so ein [mm] \delta [/mm] finden. Dabei darf [mm] \delta [/mm] natürlich von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen, tut das auch immer und auch von der Stelle x0.
In der Literatur und im Matheraum findest du ne Menge Beispiele, sicher auch in der Vorlesung, die du erst mal ansehen solltest.
Wenn du dann spezielle Fragen hast, meld dich einfach wieder.
Gruss leduart
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