Epsilon-Delta-Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mi 24.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Zeigen Sie mithilfe des [mm] \varepsilon -\delta [/mm] -Kriteriums, dass die folgende Funktion stetig ist:
f: D [mm] \to \IR_{+} [/mm] mit [mm] f(x)=\wurzel{4-x}
[/mm]
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Hallo,
Hab einige Probleme bei dieser Aufgabe.
Also zunächst hab ich mal das maximale D bestimmt: [mm] D=\{x \in \IR | x \le 4 \}.
[/mm]
Nun zum Epsilon-Delta-Kriterium:
Sei a [mm] \in [/mm] D bel. aber fest. Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 bel. aber fest. Wähle [mm] \delta=... [/mm] und bei der Wahl von [mm] \delta [/mm] hab ich einige Schwierigkeiten.
Also ich muss zeigen: |f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon [/mm] und dazu muss ich |f(x) - f(a)| abschätzen.
Ich habs folgendermaßen versucht: |f(x) - f(a)|= [mm] |\wurzel{4-x} [/mm] - [mm] \wurzel{4-a}|=|\wurzel{4-x} [/mm] - [mm] \wurzel{4-a}*\bruch{\wurzel{4-x} + \wurzel{4-a}}{\wurzel{4-x} + \wurzel{4-a}}| =|\bruch{-x+a}{\wurzel{4-x} + \wurzel{4-a}}|=|\bruch{x-a}{\wurzel{4-x} + \wurzel{4-a}}|. [/mm] Okay, der Zähler ist nun kleiner als [mm] \delta, [/mm] aber ich weiß einfach nich, wies mit dem Nenner weitergeht, wie ich da weiter abschätzen könnte. Hoffe jemand von euch könnte mir eventuell weiterhelfen. Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo ms2008de,
> Okay, der Zähler ist nun kleiner als [mm]\delta,[/mm] aber ich weiß
> einfach nich, wies mit dem Nenner weitergeht, wie ich da
> weiter abschätzen könnte. Hoffe jemand von euch könnte mir
> eventuell weiterhelfen. Vielen Dank schon mal im voraus.
Es gilt bspw. die Abschätzung
[mm] $\left|\frac1{\sqrt{y}+\sqrt{b}}\right|\le \left|\frac1{\sqrt{b}}\right|$, [/mm] da [mm] $\sqrt{y}\ge [/mm] 0$.
Das sollte dir eigentlich weiter helfen 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mi 24.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke, stand eben wohl völlig aufm Schlauch, dann wähl ich [mm] \delta [/mm] < [mm] \varepsilon*\wurzel{4-a} [/mm] und habs dann gezeigt?
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Hallo ms2008de,
> Danke, stand eben wohl völlig aufm Schlauch, dann wähl ich
> [mm]\delta[/mm] < [mm]\varepsilon*\wurzel{4-a}[/mm] und habs dann gezeigt?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Jo!
LG
schachuzipus
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