Epsilon-Delta-Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Di 05.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | z.z. Sei f: [mm] (0,\infty) \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist bei p = 2 stetig.
zu gegebenem [mm] \varepsilon [/mm] ist ein passendes [mm] \delta [/mm] zu finden. |
Hey, ich hab heute das Kriterium gelernt, deswegen beherrsche ich es noch nicht allzu gut. (das mal vorab!)
[mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium sagt ja aus:
Sei f: P [mm] \to \IR [/mm] ; p [mm] \in [/mm] P. Dann ist f genau dann stetig bei p, wenn:
[mm] \forall\varepsilon>0 \exists\delta>0 \forall x\in [/mm] P, [mm] |x-p|<\delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(p)| [mm] <\varepsilon
[/mm]
D.h. ich habe: [mm] |\bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Wie gehts nun weiter? wähle ich [mm] \delta [/mm] zunächst beliebig aus? Wenn ja, wie am besten?
(Vielleicht habe ich das Kriterium auch falsch verstanden ... dann bitte ich um Korrektur)*
Danke im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Di 05.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, du musst dein [mm] \delta [/mm] immer passend zu [mm] \epsilon [/mm] ( und oft auch zu p) bestimmen. alledings kannst du zusaetzlich erstmal z.B [mm] \delta<0.5 [/mm] waehlen, damit dein x nicht zu weit von o weg ist.
bring denen ausdreuch erstmal auf einen Nenner, ich hoffe, dann siehst du wie es weiter geht.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 05.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Hallo
> Nein, du musst dein [mm]\delta[/mm] immer passend zu [mm]\epsilon[/mm] ( und
> oft auch zu p) bestimmen. alledings kannst du zusaetzlich
> erstmal z.B [mm]\delta<0.5[/mm] waehlen, damit dein x nicht zu weit
> von o weg ist.
> bring denen ausdreuch erstmal auf einen Nenner, ich hoffe,
> dann siehst du wie es weiter geht.
> Gruss leduart
[mm] |\bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}| [/mm] = [mm] |\bruch{2-x}{2x}|< \varepsilon [/mm]
Was bringt mir das, wenn ich nun 0,5 > [mm] \delta [/mm] wähle?
Ich weiß ja nur, dass 0 und 0,5 Schranken von [mm] |\bruch{2-x}{2x}| [/mm] sind ... werd aber noch nicht ganz schlau draus, wie ich das Epsilon-Delta-Kriterium weiter anwende :/
|
|
|
| |
|
Hallo anazeug,
>
> [mm]|\bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}|[/mm] = [mm]|\bruch{2-x}{2x}|< \varepsilon[/mm]
>
> Was bringt mir das, wenn ich nun 0,5 > [mm]\delta[/mm] wähle?
Dann kannst du den Nenner nach unten abschätzen durch [mm] |2x|\ge 1,5^2. [/mm] Sodann gilt
[mm] $\left|\bruch{2-x}{2x}\right| \le \left|\bruch{2-x}{1,5^2}\right|$
[/mm]
Nun bestimmt [mm] 0,5>\delta>0 [/mm] sodass die rechte Seite [mm] <\varepsilon [/mm] für alle x mit [mm] |2-x|<\delta [/mm] ist.
LG
>
> Ich weiß ja nur, dass 0 und 0,5 Schranken von
> [mm]|\bruch{2-x}{2x}|[/mm] sind ... werd aber noch nicht ganz schlau
> draus, wie ich das Epsilon-Delta-Kriterium weiter anwende
> :/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Hallo anazeug,
> >
> > [mm]|\bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}|[/mm] = [mm]|\bruch{2-x}{2x}|< \varepsilon[/mm]
> >
> > Was bringt mir das, wenn ich nun 0,5 > [mm]\delta[/mm] wähle?
> Dann kannst du den Nenner nach unten abschätzen durch
> [mm]|2x|\ge 1,5^2.[/mm] Sodann gilt
>
> [mm]\left|\bruch{2-x}{2x}\right| \le \left|\bruch{2-x}{1,5^2}\right|[/mm]
>
> Nun bestimmt [mm]0,5>\delta>0[/mm] sodass die rechte Seite
> [mm]<\varepsilon[/mm] für alle x mit [mm]|2-x|<\delta[/mm] ist.
>
> LG
>
>
[mm] \left|\bruch{2-x}{1,5^2}\right| [/mm] = [mm] \bruch{\left|2-x\right|}{1,5^2} [/mm] < [mm] \bruch{\left|\delta \right|}{1,5^2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Somit [mm] \delta [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{1,5^2} [/mm]
Wäre das so richtig?
Was ich aber nicht verstehe, du sagst ...
> Dann kannst du den Nenner nach unten abschätzen durch
> [mm]|2x|\ge 1,5^2.[/mm] Sodann gilt
>
> [mm]\left|\bruch{2-x}{2x}\right| \le \left|\bruch{2-x}{1,5^2}\right|[/mm]
für x = 1 gilt das doch gar nicht?
|
|
|
| |
|
Hallo Anazeug,
> > Hallo anazeug,
> > >
> > > [mm]|\bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}|[/mm] = [mm]|\bruch{2-x}{2x}|< \varepsilon[/mm]
> > >
> > > Was bringt mir das, wenn ich nun 0,5 > [mm]\delta[/mm] wähle?
> > Dann kannst du den Nenner nach unten abschätzen durch
> > [mm]|2x|\ge 1,5^2.[/mm] Sodann gilt
> >
> > [mm]\left|\bruch{2-x}{2x}\right| \le \left|\bruch{2-x}{1,5^2}\right|[/mm]
>
> >
> > Nun bestimmt [mm]0,5>\delta>0[/mm] sodass die rechte Seite
> > [mm]<\varepsilon[/mm] für alle x mit [mm]|2-x|<\delta[/mm] ist.
> >
> > LG
> >
> >
>
>
> [mm]\left|\bruch{2-x}{1,5^2}\right|[/mm] =
> [mm]\bruch{\left|2-x\right|}{1,5^2}[/mm] < [mm]\bruch{\left|\delta \right|}{1,5^2}[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Somit [mm]\delta[/mm] < [mm]\bruch{\varepsilon}{1,5^2}[/mm]
Wie kommst du darauf?
>
> Wäre das so richtig?
>
>
> Was ich aber nicht verstehe, du sagst ...
>
> > Dann kannst du den Nenner nach unten abschätzen durch
> > [mm]|2x|\ge 1,5^2.[/mm] Sodann gilt
> >
> > [mm]\left|\bruch{2-x}{2x}\right| \le \left|\bruch{2-x}{1,5^2}\right|[/mm]
>
> für x = 1 gilt das doch gar nicht?
Wir hatten doch festgelegt, dass wir "nahe" an [mm]p=2[/mm] sind, genauer: näher dran als 1/2
[mm]\delta<1/2[/mm] bedeutet doch [mm]|x-2|<1/2[/mm], es ist also [mm]x[/mm] näher an 2 als 1/2, also [mm]1,5
Diese "Zusatz"bedingung an [mm]\delta[/mm] war doch extra deswegen eingebaut.
Nachher dann so aufgeschrieben: "Sei [mm]\varepsilon>0[/mm], wähle [mm]\delta=\min\{1/2,...\}[/mm], dann gilt für alle x mit [mm]|x-2|<\delta: |f(x)-f(2)|<\varepsilon[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> >
> > [mm]\left|\bruch{2-x}{1,5^2}\right|[/mm] =
> > [mm]\bruch{\left|2-x\right|}{1,5^2}[/mm] < [mm]\bruch{\left|\delta \right|}{1,5^2}[/mm]
> > < [mm]\varepsilon[/mm]
> >
> > Somit [mm]\delta[/mm] < [mm]\bruch{\varepsilon}{1,5^2}[/mm]
>
> Wie kommst du darauf?
>
Naja, wenn wir annehmen [mm] \delta [/mm] < 0,5 also |x-2| < 0,5 und 1,5 < x < 2,5
Dann kann ich ja [mm] \bruch{\left|2-x\right|}{1,5^2} [/mm] = [mm] \bruch{\left|x-2\right|}{\left|-1,5^2\right|} [/mm] annehmen und [mm] \delta [/mm] einsetzen
Somit ist [mm] \bruch{\left|\delta \right|}{1,5^2} [/mm] > [mm] \varepsilon [/mm] und dann nur noch umstellen ...
und dann komm ich auf [mm] \delta [/mm] > [mm] \bruch{\varepsilon}{1,5^2} [/mm] ...
Aber anscheinend lieg ich ganz falsch? xD
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Somit ist [mm]\bruch{\left|\delta \right|}{1,5^2}[/mm] > [mm]\varepsilon[/mm]
Aha.
> und dann nur noch umstellen ...
Na dann mal los, aber bitte richtig.
> und dann komm ich auf [mm]\delta[/mm] > [mm]\bruch{\varepsilon}{1,5^2}[/mm]
Na das zeig mal, wie du dahin umgestellt hast
Lustigerweise tut das zwar nix zur Sache in diesem Fall, d.h. dein Fehler ist letztlich irrelevant. Aber er ist da!
Mach dir danach mal klar, warum er aber letztlich irrelevant ist.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> > und dann komm ich auf [mm]\delta[/mm] > [mm]\bruch{\varepsilon}{1,5^2}[/mm]
>
> Na das zeig mal, wie du dahin umgestellt hast
>
> Lustigerweise tut das zwar nix zur Sache in diesem Fall,
> d.h. dein Fehler ist letztlich irrelevant. Aber er ist da!
> Mach dir danach mal klar, warum er aber letztlich
> irrelevant ist.
>
> MFG,
> Gono.
Ah klar, [mm]\delta[/mm] > [mm]\varepsilon \cdot 1,5^2[/mm]
Warum mein Fehler aber irrelevant war, verstehe ich nicht ...
|
|
|
| |
|
Hiho,
und dein Relationszeichen ist weiterhin falsch.
Du kamst doch korrekt auf:
[mm] $\ldots \le \bruch{\delta}{1,5^2}$
[/mm]
und das alles soll aber immer noch kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] sein, d.h. es muss gelten:
$ [mm] \bruch{\delta}{1,5^2} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] und das liefert dir:
[mm] $\delta [/mm] < [mm] \varepsilon*1,5^2$
[/mm]
Und nun überleg dir mal, warum ein Ergebnis der Form:
[mm] $\delta [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{1,5^2}$ [/mm] da nichts ausmacht.
Tip: Bedenke, dass [mm] \delta [/mm] im zweiten Fall wird nur kleiner!
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Und nun überleg dir mal, warum ein Ergebnis der Form:
>
> [mm]\delta < \bruch{\varepsilon}{1,5^2}[/mm] da nichts ausmacht.
>
> Tip: Bedenke, dass [mm]\delta[/mm] im zweiten Fall wird nur
> kleiner!
>
> MFG,
> Gono.
Na klar, dein Tipp ist ja zugleich die Lösung, da das zweite [mm] \delta [/mm] nur noch kleiner wird, stimmt die Ungleichung weiterhin ...
Danke euch für alles. :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
>
> > Und nun überleg dir mal, warum ein Ergebnis der Form:
> >
> > [mm]\delta < \bruch{\varepsilon}{1,5^2}[/mm] da nichts ausmacht.
> >
> > Tip: Bedenke, dass [mm]\delta[/mm] im zweiten Fall wird nur
> > kleiner!
> >
> > MFG,
> > Gono.
>
> Na klar, dein Tipp ist ja zugleich die Lösung, da das
> zweite [mm]\delta[/mm] nur noch kleiner wird, stimmt die Ungleichung
> weiterhin ...
>
> Danke euch für alles. :)
hast Du denn auch mal ein [mm] $\delta$ [/mm] konkret gewählt? Es muss ja auch $0 < [mm] \delta$ [/mm] erfüllen. Und wenn man ein $0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] a\,$ [/mm] mit einem $a > [mm] 0\,$ [/mm] braucht
Bessere Formulierung für das Durchgestrichene:
Und wenn ein $0 < [mm] \delta [/mm] < a$ mit einem $a > [mm] 0\,$ [/mm] hinreichend für das ist, was man zeigen will, dann nimmt man etwa sehr gerne [mm] $\delta:=a/2\,.$
[/mm]
Wäre aber das $a [mm] \le 0\,,$ [/mm] so hätte man ein Problem bekommen können...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> hast Du denn auch mal ein [mm]\delta[/mm] konkret gewählt? Es muss
> ja auch [mm]0 < \delta[/mm] erfüllen. Und wenn man ein [mm]0 < \delta < a\,[/mm]
> mit einem [mm]a > 0\,[/mm] braucht
> Bessere Formulierung für das Durchgestrichene:
> Und wenn ein [mm]0 < \delta < a[/mm] mit einem [mm]a > 0\,[/mm] hinreichend
> für das ist, was man zeigen will, dann nimmt man etwa sehr
> gerne [mm]\delta:=a/2\,.[/mm]
> Wäre aber das [mm]a \le 0\,,[/mm] so hätte man ein Problem
> bekommen können...
>
> Gruß,
> Marcel
Ja, wir haben zunächst 0 < [mm] \delta [/mm] < 0,5 angenommen, was für ein Problem meinst du jetzt genau, es ist ja klar, das [mm] \delta [/mm] > 0 ist, laut Definition des Epsilon-Delta-Kriteriums ...?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> > hast Du denn auch mal ein [mm]\delta[/mm] konkret gewählt? Es muss
> > ja auch [mm]0 < \delta[/mm] erfüllen. Und wenn man ein [mm]0 < \delta < a\,[/mm]
>
> > mit einem [mm]a > 0\,[/mm] braucht
> > Bessere Formulierung für das Durchgestrichene:
> > Und wenn ein [mm]0 < \delta < a[/mm] mit einem [mm]a > 0\,[/mm]
> hinreichend
> > für das ist, was man zeigen will, dann nimmt man etwa sehr
> > gerne [mm]\delta:=a/2\,.[/mm]
> > Wäre aber das [mm]a \le 0\,,[/mm] so hätte man ein Problem
> > bekommen können...
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Ja, wir haben zunächst 0 < [mm]\delta[/mm] < 0,5 angenommen, was
> für ein Problem meinst du jetzt genau, es ist ja klar, das
> [mm]\delta[/mm] > 0 ist, laut Definition des
> Epsilon-Delta-Kriteriums ...?
na pass' auf: Du hast eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] gegeben und diese an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] ihres Definitionsbereichs auf Stetigkeit untersucht. Nun hast Du ein wenig gerechnet und kamst zu dem Ergebnis:
Wenn [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig ist, dann kommt man zu der gesuchten/passenden Folgerung für [mm] $x\,$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $f\,$
[/mm]
[mm] $$|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon\,,$$ [/mm]
wenn man nur $0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] \text{irgendwas in Abhängigkeit von }x_0 \text{ und }\varepsilon$ [/mm] hat, ich schreibe kürzer $0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] a\,.$ [/mm] (D.h. [mm] $a\,$ [/mm] ist nicht konstant, aber konstant für konstantes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ und festes [mm] $x_0\,,$ [/mm] anders gesagt: [mm] $a=a_{\varepsilon,x_0}\,.$)
[/mm]
Anders gesagt: Die Wahl eines jeden [mm] $\delta \in (0,a)\,$ [/mm] ist geeignet, um hier die Stetigkeit an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] einzusehen.
Also 1.)
Das offene Intervall [mm] $(0,a)\,$ [/mm] darf dafür natürlich nicht leer sein - und das ist genau dann der Fall, wenn $a > [mm] 0\,$ [/mm] ist.
Und 2.)
Wenn das offene Intervall [mm] $(0,a)\,$ [/mm] nicht leer ist, dann sieht man auch, dass etwa $a/2 [mm] \in [/mm] (0,a)$ gilt.
Und wenn man nur die Existenz eines [mm] $\delta \in [/mm] (0,a)$ braucht, so ist es doch für $a > [mm] 0\,$ [/mm] schnell abgetan, einfach [mm] $\delta:=a/2$ [/mm] zu definieren.
Aber Du könntest auch [mm] $\delta:=a/12362336$ [/mm] setzen, sofern nur $a > 0$ ist...
P.S.
Ich habe bei Dir nicht alles nachgerechnet oder mitgerechnet, aber ich glaube mich zu erinnern, dass Du auch $0 [mm] <\delta [/mm] < [mm] 1/2\,$ [/mm] benutzt hattest (das kann man, indem man etwa $0< [mm] \delta \le [/mm] 1/4$ verlangt). Also sollte (eventuell) am Ende auch etwa stehen:
[mm] $$\delta:=\min\{1/4,\;a/2\}$$
[/mm]
ist geeignet...
(Oder Du schreibst irgendwo, dass im Folgenden o.E. $0< [mm] \delta [/mm] < 1/2$ sei... oder Du gibst Dir nicht irgendein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vor, sondern sagst, dass dieses [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ schon o.E. passend klein sei. Denn bei der Stetigkeit kann man auch äquivalent fordern: Anstatt zu zeigen, dass da etwas für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt, reicht es auch zu zeigen, dass es für alle [mm] $\varepsilon \in (0,r)\,$ [/mm] mit einem $r > 0$ gilt...)
P.S.
Alles, was von Dir/Euch gemacht wurde, ist auch kein Problem. Ich würde nur diese minimale Zusatzüberlegung noch anstellen und am Ende durch eine "konkrete [mm] $\delta$-Angabe" [/mm] zeigen, dass die hinreichende Bedingung für die Stetigkeit, die Ihr Euch erarbeitet habt, auch erfüllbar ist. Mehr nicht!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Do 07.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
Danke, mal ne nebensächliche Frage:
f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist ja für x = 0 nicht defininiert, sagt man dann bezogen auf die Stetigkeit, dass diese Funktion bei x=0 unstetig ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> Danke, mal ne nebensächliche Frage:
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist ja für x = 0 nicht defininiert,
> sagt man dann bezogen auf die Stetigkeit, dass diese
> Funktion bei x=0 unstetig ist?
nein. Eine Funktion kann man nur auf Stetigkeit an den Stellen ihres Definitionsbereichs untersuchen. Wer anderes erzählt, erzählt Quatsch:
Siehe auch etwa ![[]](/images/popup.gif) Definition 10.2, 1.
Eine Funktion heißt auch nur dann kurz stetig, wenn sie stetig an allen Stellen ihres Definitionsbereichs ist. (Definition 10.2, 2., letztstehender Satz!)
Und das ganze ist eigentlich auch klar, denn niemand käme etwa auf die Idee, die Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x\,$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] an der Stelle $i [mm] \in \IC \setminus \IR$ [/mm] zu untersuchen, ob sie dort stetig sei.
P.S.
Entgegen mancher Behauptungen von Mathelehrern (oder -lehrerinnen) ist die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] mit
$$f: [mm] \begin{cases} \IR\setminus \{0\} \to \IR \\ \IR \ni x \mapsto \displaystyle f(x):=\frac{1}{x} \text{ für alle }x \in \IR \setminus \{0\}\end{cases}$$
[/mm]
stetig. (Lehrer/innen vergessen nämlich gerne mal, dass dieses "ich kann den Graphen zeichnen, ohne den Stift abzusetzen" auch Voraussetzungen an den Definitionsbereichs bedarf. Auch ist jede Funktion [mm] $\IN \to \IR$ [/mm] stetig, wenn man die Metrik auf [mm] $\IN$ [/mm] mit der von [mm] $\IR$ [/mm] herkommenden Metrik - auf [mm] $\IN$ [/mm] eingeschränkt - versieht! Kurz: Reellwertige Folgen sind in diesem Sinne immer stetig!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Do 07.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Danke, mal ne nebensächliche Frage:
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist ja für x = 0 nicht defininiert,
> sagt man dann bezogen auf die Stetigkeit, dass diese
> Funktion bei x=0 unstetig ist?
Nein. Schau Dir mal die Definition der Stetigkeit bei [mm] $x_0$ [/mm] an. Da taucht der Ausdruck [mm] $f(x_0)$ [/mm] auf, der ja nur definiert ist, wenn [mm] $x_0$ [/mm] im Definitionsbereich liegt.
Eine andere Frage ist, ob sich $f$ stetig in [mm] $x_0$ [/mm] fortsetzen läßt, das heißt, ob man [mm] $f(x_0)$ [/mm] so definieren kann, daß die fortgesetzte Funktion stetig ist. Dies ist immer dann der Fall, wenn [mm] $\lim_{x\to x_0} [/mm] f(x)$ existiert. In Deinem Beispiel existiert der Grenzwert nicht, das heißt $1/x$ ist nicht in $0$ stetig fortsetzbar.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Do 07.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ich danke euch beiden! :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
Das wäre jetzt meine Lösung, wäre das okay so:
z.z. f: [mm] (0,\infty) \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist bei p = 2 stetig (zu geg. [mm] \varepsilon>0 [/mm] ist ein passendes [mm] \delta [/mm] zu finden)
[mm] \left|\bruch{1}{x} - \bruch{1}{p}\right|= \left|\bruch{1}{x} - \bruch{1}{2}\right| =\left|\bruch{2-x}{2x} \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Sei [mm] \delta \le [/mm] 1 und [mm] \left|x-2\right| [/mm] < [mm] \delta [/mm]
Somit gilt: 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3
[mm] \left|\bruch{2-x}{2x} \right| [/mm] = [mm] \left|\bruch{x-2}{-2x} \right| [/mm] = [mm] \bruch{\left|2-x\right|}{2x} \le \right| \bruch{\left|2-x\right|}{2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \bruch{\delta}{2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \delta [/mm] < [mm] 2\varepsilon [/mm]
Wähle [mm] \delta [/mm] = min {1, [mm] 2\varepsilon [/mm] }
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Alles richtig!
Gruß
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Alles richtig!
>
> Gruß
> Wolfgang
Danke Wolfgang! :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> Das wäre jetzt meine Lösung, wäre das okay so:
>
> z.z. f: [mm](0,\infty) \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist bei p =
> 2 stetig (zu geg. [mm]\varepsilon>0[/mm] ist ein passendes [mm]\delta[/mm] zu
> finden)
>
> [mm]\left|\bruch{1}{x} - \bruch{1}{p}\right|= \left|\bruch{1}{x} - \bruch{1}{2}\right| =\left|\bruch{2-x}{2x} \right|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Sei [mm]\delta \le[/mm] 1 und [mm]\left|x-2\right|[/mm] < [mm]\delta[/mm]
> Somit gilt: 1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 3
>
> [mm]\left|\bruch{2-x}{2x} \right|[/mm] = [mm]\left|\bruch{x-2}{-2x} \right|[/mm]
> = [mm]\bruch{\left|2-x\right|}{2x} \le \right| \bruch{\left|2-x\right|}{2}[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta}{2}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\delta[/mm] < [mm]2\varepsilon[/mm]
>
> Wähle [mm]\delta[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= min {1, [mm]2\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
ich stimme Wolfgang zu, dass Du das richtig gemacht hast. Aber der Aufschrieb ist alles andere als schön - auch, wenn ich Dir das als Korrekteur durchgehen lassen würde (aber nur ganz knapp).
Warum? Naja, das ist ein halber Schmierzettelaufschrieb. Wie würdest Du jemanden, der diese Aussage bewiesen haben will, denn beweisen?
Naja,doch in einer anderen Reihenfolge:
Sei $\varepsilon > 0$ beliebig, aber fest. Wir setzen $\delta:=\delta_{\varepsilon, x_0=2}:=\min ...$. Dann gilt:
.
.
.
Und wenn dann jemand fragt, wie Du denn darauf gekommen bist, dann darfst Du das meinetwegen nochmal so schmierzettelmäßig vorführen.
Versteh' mich nicht falsch: Dein Aufschrieb ist schon okay (wenngleich man da sicher noch $\gdw$ oder $\Rightarrow$-Zeichen ergänzen sollte). Aber Du hast auch gelernt, dass man manchmal in der Mathematik eher "Ergebnispräsentationen" zu sehen bekommt - dass da jemand evtl. wochenlang mit Abschätzungen rumgespielt hat und dadurch meinetwegen auch eine Strategie entwickelt hat, was denn eine passende Abschätzung mindestens leisten müßte und wieso das, was am Ende da steht, dann NACH dieser Arbeit naheliegend war: Das wird nicht immer präsentiert. Weil das (jedenfalls oft) eher nebensächlich war, wenn man mal das kurze, prägnante Ergebnis sieht.
Wobei ich es gerade auch bei diesen "$\delta$-zu-$\varepsilon$-und-$x_0$-passend-finden" (Stetigkeits-)Aufgaben nicht verkehrt finde, wenn man da manchmal erst mal startet mit:
"Sei $\varepsilon >0$ beliebig, aber fest, und sei $\delta > 0$ zunächst noch weiter unbestimmt. Wenn man $\delta \le 1$ annimmt, dann gilt jedenfalls..." und dann, so wie Du das tust, am Ende schreibt:
Diese Überlegungen zeigen, dass die Wahl von $\delta:=\min...$ geeignet ist."
Denn ich finde, dass man in dieser Art oft eher "Beweisideen" erkennen kann, als wie, wenn jemand bloß sein Ergebnis schön sortiert aufschreibt. Aber prinzipiell: Du solltest lernen, beides zu beherrschen. Und für Prüfungen mußt Du auch lernen, ein wenig zu sortieren: Was ist hier besonders wichtig, was eher "nebensächlich" oder standardmäßig. Denn meist erwartet man in den Prüfungen weniger, dass Du alle Details kennst - aber man erwartet, dass Du "Standardvorgehen" beherrschst und wenigstens kompliziertere Schritte skizzieren kannst. Wie detailliert so eine "Skizze" dann sein sollte, hängt vom Prüfer ab. Bei manchen Prüfern ist so eine Skizze dann doch wieder "detailliertes Aufschreiben"...
Aber ich bin eh abgeschweift ^^
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
