Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Mo 18.03.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | [mm] D=(0,\infty) [/mm]
Zeige bei [mm] f:D\rightarrow [/mm] R mit [mm] f(x)=\sqrt{x} [/mm] die Stetigkeit von f mit dem
[mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] -Kriterium. |
Hallo,
hier meine Zweite Aufgabe um mit dem [mm] \delta -\epsilon [/mm] -Kriterium flüssiger umzugehen. Ich würde mich freuen, wenn noch mal jemand über die Aufgabe guckt und schreibt, ob das alles so ok ist.
Zudem hätte ich noch zwei Fragen:
1.
Das Äquivalenszeichen in der Abschätzung ist eventuell nicht die beste Lösung. Das schrieb steppenhahn schon bei der letzten Aufgabe.
Wie soll ich das besser ausdrücken?
2.
So wie ich das verstanden habe brauche ich doch meine Abschätzung nur [mm] \leq \varepsilon, [/mm] oder muss ich eche < [mm] \varepsilon [/mm] abschätzen?
Hier meine Lösung:
Sei x [mm] \epsilon \mathbb{D} [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] >0 beliebig.
Wähle [mm] \delta:=\varepsilon*\sqrt{x} [/mm] >0
Sei a [mm] \epsilon \mathbb{D} [/mm] mit [mm] \mid [/mm] x-a [mm] \mid <\delta [/mm] , dann gilt:
[mm] \left | f(x)-f(a) \right |=\left | \sqrt{x}-\sqrt{a} \right |=\left |\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a}))}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \right [/mm] |=
[mm] \frac{\left | x-a \right |}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq \frac{\delta}{\sqrt{x}}\leq \varepsilon \Leftrightarrow \delta \leq \varepsilon \sqrt{x}
[/mm]
, was die Stetigkeit von f beweist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Mo 18.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]D=(0,\infty)[/mm]
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> Zeige bei [mm]f:D\rightarrow[/mm] R mit [mm]f(x)=\sqrt{x}[/mm] die Stetigkeit
> von f mit dem
> [mm]\epsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] -Kriterium.
> Hallo,
> hier meine Zweite Aufgabe um mit dem [mm]\delta -\epsilon[/mm]
> -Kriterium flüssiger umzugehen. Ich würde mich freuen,
> wenn noch mal jemand über die Aufgabe guckt und schreibt,
> ob das alles so ok ist.
>
> Zudem hätte ich noch zwei Fragen:
> 1.
> Das Äquivalenszeichen in der Abschätzung ist eventuell
> nicht die beste Lösung.
Was meinst Du damit ?
> Das schrieb steppenhahn schon bei
> der letzten Aufgabe.
> Wie soll ich das besser ausdrücken?
> 2.
> So wie ich das verstanden habe brauche ich doch meine
> Abschätzung nur [mm]\leq \varepsilon,[/mm] oder muss ich eche <
> [mm]\varepsilon[/mm] abschätzen?
Ob < [mm] \varepsilon [/mm] oder [mm]\leq \varepsilon,[/mm] ist Wurscht.
>
>
> Hier meine Lösung:
> Sei x [mm]\epsilon \mathbb{D}[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] >0 beliebig.
> Wähle [mm]\delta:=\varepsilon*\sqrt{x}[/mm] >0
> Sei a [mm]\epsilon \mathbb{D}[/mm] mit [mm]\mid[/mm] x-a [mm]\mid <\delta[/mm] , dann
> gilt:
>
> [mm]\left | f(x)-f(a) \right |=\left | \sqrt{x}-\sqrt{a} \right |=\left |\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a}))}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \right[/mm]
> |=
>
> [mm]\frac{\left | x-a \right |}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq \frac{\delta}{\sqrt{x}}\leq \varepsilon \Leftrightarrow \delta \leq \varepsilon \sqrt{x}[/mm]
>
> , was die Stetigkeit von f beweist.
Ja, alles korrekt.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mo 18.03.2013 | | Autor: | mbra771 |
ich meinte dieses:
[mm] \frac{\left | x-a \right |}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq \frac{\delta}{\sqrt{x}}\leq \varepsilon {\color{Red}\Leftrightarrow }\delta \leq \varepsilon \sqrt{x}
[/mm]
Äquivalentzeichen.
Also die Umstellung zum [mm] \delta
[/mm]
Wenn das aber so ok ist, dann ist mir das sehr sympatisch.
PS: Wurscht ist gut 
DANKE
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Hallo,
> ich meinte dieses:
>
> [mm]\frac{\left | x-a \right |}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq \frac{\delta}{\sqrt{x}}\leq \varepsilon {\color{Red}\Leftrightarrow }\delta \leq \varepsilon \sqrt{x}[/mm]
>
> Äquivalentzeichen.
>
> Also die Umstellung zum [mm]\delta[/mm]
Es ist mathematisch völlig OK so. Jeder weiß, was gemeint ist. Ob man das so schreibt oder nicht, ist eher eine ästhetisches Frage.
Ich kann dir aber sagen, warum ich es nicht so schreiben würde:
Ein Äquivalenzzeichen verbindet zwei Aussagen miteinander. Du möchtest hier ja nur die Aussage [mm] $\frac{\delta}{\sqrt{x}} \le \varepsilon$ [/mm] mit der Aussage [mm] $\delta \le \varepsilon \sqrt{x}$ [/mm] verknüpfen.
Dies wird aber durch obigen Aufschrieb nicht klar, weil ja links neben [mm] $\frac{\delta}{\sqrt{x}} \le \varepsilon$ [/mm] noch die ganze Ungleichungskette dranklebt.
Außerdem finde ich es schöner, wenn am Ende direkt die Aussage bewiesen wurde und nicht die Äquivalenz zu einer wahren Aussage gezeigt wird.
Ich würde es eher so schreiben:
[mm] $\frac{\delta}{\sqrt{x}} \overset{\delta \le \varepsilon \sqrt{x} \mbox{nach Voraussetzung}}{\le} \varepsilon$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mo 18.03.2013 | | Autor: | mbra771 |
...
> Ein Äquivalenzzeichen verbindet zwei Aussagen
> miteinander. Du möchtest hier ja nur die Aussage
> [mm]\frac{\delta}{\sqrt{x}} \le \varepsilon[/mm] mit der Aussage
> [mm]\delta \le \varepsilon \sqrt{x}[/mm] verknüpfen.
> Dies wird aber durch obigen Aufschrieb nicht klar, weil ja
> links neben [mm]\frac{\delta}{\sqrt{x}} \le \varepsilon[/mm] noch
> die ganze Ungleichungskette dranklebt.
Ja, das ist dann auch sehr unübersichtlich und stört mich auch.
>
> Außerdem finde ich es schöner, wenn am Ende direkt die
> Aussage bewiesen wurde und nicht die Äquivalenz zu einer
> wahren Aussage gezeigt wird.
>
> Ich würde es eher so schreiben:
>
> [mm]\frac{\delta}{\sqrt{x}} \overset{\delta \le \varepsilon \sqrt{x} \mbox{nach Voraussetzung}}{\le} \varepsilon[/mm].
>
> Viele Grüße,
> Stefan
>
>
Hallo Stafan,
bitte entschuldige daß ich jetzt noch mal nachfragen muß, aber bei mir wird deine Antwort nicht richtig dargestellt.
(... und wer nicht fragt bleibt dumm )
Meintest du das so:?
[mm] Ungleichungskette...\frac{\delta}{\sqrt{x}}\leq \varepsilon [/mm]
somit ist [mm] \delta \leq \varepsilon \sqrt{x} [/mm] nach Voraussetzung, was die Stetigkeit von f zeigt.
Ich muß sagen, die Formulierung fällt mir teilweise schwerer als die eigentlichen Umforumgen.
Vielen dank für die Arbeit die du dir machst.
Grüße,
Micha
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Hallo,
mir gefällt der Beweis so nicht, auch wenn die Idee schon richtig ist.
Das [mm]\delta[/mm] hängt bei dir von der Variablen [mm]x[/mm] ab, das darf doch nicht sein.
Du solltest im Nenner nicht gegen [mm] $\sqrt [/mm] x$, sondern gegen [mm]\sqrt a[/mm] abschätzen und [mm]\delta:=\varepsilon\cdot{}\red{\sqrt a}[/mm] wählen (oder kleiner) ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Mo 18.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> mir gefällt der Beweis so nicht, auch wenn die Idee schon
> richtig ist.
>
> Das [mm]\delta[/mm] hängt bei dir von der Variablen [mm]x[/mm] ab, das darf
> doch nicht sein.
Hallo schachuzipus,
Die Funktion f wird an der Stelle x auf Stetigkeit untersucht, nicht in a !
FRED
>
> Du solltest im Nenner nicht gegen [mm]\sqrt x[/mm], sondern gegen
> [mm]\sqrt a[/mm] abschätzen und
> [mm]\delta:=\varepsilon\cdot{}\red{\sqrt a}[/mm] wählen (oder
> kleiner) ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Hallo,
ich glaube, da hat sich der Aufgabensteller beim Beweisanfang verschrieben oder absichtlich für starke Irritation gesorgt.
Immerhin heißt die Funktio [mm] $f(\red x)=\sqrt [/mm] x$ und nicht [mm] $f(a)=\sqrt [/mm] a$
Ich bleibe dabei, dass das Kuddelmuddel ist
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mo 18.03.2013 | | Autor: | mbra771 |
UPS, Ja, da ist dem Aufgabensteller echt ein kuddelmuddel unterlaufen.
War aber keine Absicht...
... muss natürlich abgeschätzt werden in $ [mm] \delta:=\varepsilon\cdot{}\sqrt [/mm] a $
Dann muss ich das Letzte Aufgabe
hier auch ändern?
Grüße,
Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 18.03.2013 | | Autor: | mbra771 |
Tschuldigung,
ich bin gerade total verwirrt. Eigentlich dachte ich, ich hätte die Zusammenhänge langsam verstanden,
jetzt holt mich gerade der Matheteufel ;-(
Wenn ich f auf Stetigkeit in x untersuche dann darf doch mein [mm] \delta [/mm] von [mm] \varepsilon [/mm] und von x abhängen, oder?
a kommt doch aus der [mm] \delta [/mm] Umgebung von x oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mo 18.03.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
Lass dich nicht irritieren, dein Beweis ist richtig. die fkt hat nur kein von x unabhängiges [mm] \delta, [/mm] ist also nicht gleichmäßog stetig.
Grus leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mo 18.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein lass die Abj. vpn x stehen!
Griss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 18.03.2013 | | Autor: | mbra771 |
Ich hab mir noch mal die Def des [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta- [/mm] Kriterium angesehen.
hier wird die Stetigkeit in a überprüft und x ergibt sich aus der Umgebung zu a.
Ich hatte das verdreht gemacht. Das kann die Verwirrung hervorgerufen haben. Aber Fakt ist doch, daß ich mein [mm] \delta [/mm] in Abhängigkeit des [mm] \varepsilon [/mm] und des Punktes, in dem ich die Stetigkeit untersuchen soll, abschätzen soll. Oder?
Schreibt mal bitte ob das so stimmt, damit ich den Kopf frei bekomme
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Mo 18.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja [mm] \delta [/mm] h#ngt von [mm] \epsilon [/mm] und der Stelle ab, an der man die Stetigkeit zeigt-
Gruss leduart
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Grundsätzlich musst du beim [mm] \epsilon-\delta-Beweis [/mm] einen Punkt "beliebig, aber fest", den anderen Variabel wählen. Welcher a und welcher x heißt, bleibt dir überlassen, aber meistens wählt man a fest und x variabel.
Falls du dies ebenso wählst, darf [mm] \delta [/mm] nur von [mm] \epsilon [/mm] und a abhängen, nicht von x.
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