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| Aufgabe | Geben sie für die folgenden Funktionen f, eine mögliche Zahl [mm] \delta \> [/mm] 0 an, so dass
[mm] |f(x)-f(x_{0}|<\epsilon [/mm] für alle [mm] x\in (x0-\delta, x0+\delta)
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{x^{2}}{(x+3)^{2}+1} [/mm]
[mm] x_{0}=1 [/mm]
[mm] \epsilon [/mm] =0,1 |
Hallo,
habe nun die Funktion eingesetzt
[mm] |\bruch{x^{2}}{(x+3)^{2}+1} -\bruch{1}{17}|<0,1
[/mm]
Bringe ich jetzt die beiden Werte auf einen Nenner bis ich einen Wert hab der kleiner als Epsilon ist? Mein Professor meint ich müsste [mm] |f(x)-f(1)|\le [/mm] C|x-1| (C ist eine Konstante) abschätzen, weiß aber nicht wie man abschätzt.
Kann mir jemand helfen?
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Hallo,
$ [mm] f(x)=\bruch{x^{2}}{(x+3)^{2}+1} [/mm] $
[mm]|f(x) - f(1)| = |\bruch{x^{2}}{(x+3)^{2}+1} - \bruch{1}{17}| = | \bruch{17*x^{2}-(x+3)^{2}+1}{17*[(x+3)^{2}+1]}| = |\bruch{2[8*x^{2}-3x-4]}{17*[(x+3)^{2}+1]}| = ... [/mm]
so kannst du jetzt bestimmt weiter abschätzen!
lg Kai
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Morgen,
[mm] |\bruch{2 [8\cdot{}x^{2}-3x-4] }{17\cdot{}[ (x+3)^{2}+1]}| [/mm] irgendwie ist mir das noch nicht ersichtlich.
Die Terme in den Klammern wachsen ja in die Höhe wenn ich einen Wert dafür einsetze. Daraus kann ich also noch nichts folgern. Wenn ich die binomische Formel im Nenner auflöse bringt mir das auch nichts, oder doch?
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Guten Morgen,
> Morgen,
>
> [mm]|\bruch{2 [8\cdot{}x^{2}-3x-4] }{17\cdot{}[ (x+3)^{2}+1]}|[/mm]
> irgendwie ist mir das noch nicht ersichtlich.
>
> Die Terme in den Klammern wachsen ja in die Höhe wenn ich
> einen Wert dafür einsetze. Daraus kann ich also noch nichts
> folgern. Wenn ich die binomische Formel im Nenner auflöse
> bringt mir das auch nichts, oder doch?
Der Trick dabei ist, geschickt abzuschätzen, d.h. alles was du nicht brauchst wegzudiskutieren.
Wichtig ist ersteinmal, das was du haben möchtest irgendwie dastehen zu haben:
[mm]|\bruch{2 [8\cdot{}x^{2}-3x-4] }{17\cdot{}[ (x+3)^{2}+1]}| = \bruch{2 [8\cdot{}x^{2}-3(x-1)-7] }{17\cdot{}[ (x+3)^{2}+1]}| \le ... [/mm]
Die "-7" kannst du z.B. nach oben wegschätzen, damit du die $|x-1|$ isoliert hast.
lg Kai
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[mm] ....\le\bruch{2 [8\cdot{}x^{2}-3(x-1)] }{17\cdot{}[ (x+3)^{2}+1]}| [/mm]
Hab ich dann nur das stehen? Und was will ich am Ende da stehen haben? Sorry das du das in so kleinen Schritten erklären musst.
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Am Ende soll dastehen:
[mm] |f(x)-f(1)| \le c*|x-1| < \varepsilon \gdw |x-1|<\delta = \bruch{\varepsilon}{c} [/mm]
Deswegen machen wir diese Abschätzung, damit wir das nach der Definition geforterte [mm] \delta [/mm] finden, damit f(x) und [mm] f(x^0)=f(1) [/mm] einen kleineren Abstand haben als [mm] \varepsilon.
[/mm]
lg Kai
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Kann ich denn die -7 da oben einfach weglassen? LAsse ich den Nenner so wie er ist?
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Na es ist alles legal, was den Term größer macht. Eine "-7" weglassen heißt ja, um "+7" zu erhöhen, und das macht im Zähler den Term insgesammt größer.
lg Kai
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