Epsilon-Delta Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Di 11.01.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | [mm]f: \IR \to \IR [/mm]
[mm]f(x)=x+2[/mm] für [mm]x \le 2[/mm]
[mm]f(x)=x^2-4x+8[/mm] für x>2
Ist f in [mm]x_0 = 4 [/mm] stetig? |
Ich habs mal mit Epsilon-Delta Kriterium probiert.
Ich muss also für alle Epsilon größer 0 ein Delta größer 0 finden,
sodass für
[mm]|x-4|< \delta[/mm] folgt [mm]|f(x) = f(4)| < \epsilon[/mm]
[mm]|f(x) = f(4)| = |x^2-4x| = |x(x-4)| = |x-4|*|x| = |x-4|*x < \epsilon[/mm]
Ich darf aber Delta nicht in Abhängigkeit von x wählen, oder?
Sonst wär ich ja jetzt fertig.
Was folger ich denn jetzt?
Kann man das noch abschätzen, ich weiß ja noch x>2?
|
|
| |
|
> [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
> [mm]f(x)=x+2[/mm] für [mm]x \le 2[/mm]
> [mm]f(x)=x^2-4x+8[/mm] für
> x>2
> Ist f in [mm]x_0 = 4[/mm] stetig?
also
[mm]f(x)=\begin{cases} f_1(x)=x+2 & x\leq 2 \\
f_2(x)=x^2-4x+8& x>2\end{cases}[/mm]
>
> Ich habs mal mit Epsilon-Delta Kriterium probiert.
> Ich muss also für alle Epsilon größer 0 ein Delta
> größer 0 finden,
Ich weiß nicht wie viel du rechnen möchtest, aber genügt doch zu zeigen, dass [mm]\lim_{x\uparrow 2}f_1(x)=\lim_{x\downarrow2}f_2(x)[/mm]
Damit wäre ja f generell stetig und dann auch in dem Punkt [mm] $x_0=4$.
[/mm]
> sodass für
> [mm]|x-4|< \delta[/mm] folgt [mm]|f(x) \red{-} f(4)| < \epsilon[/mm]
>
> [mm]|f(x) \red{-} f(4)| = |x^2-4x| = |x(x-4)| = |x-4|*|x| = |x-4|*x < \epsilon[/mm]
>
> Ich darf aber Delta nicht in Abhängigkeit von x wählen,
> oder?
Du darfst das auch nich so einfach ansetzen, denn es gibt ja einen Unterschied zwischen [mm]\delta=1[/mm] und [mm]\delta=6[/mm]. Denn einmal rutschst du in [mm]f_1[/mm] mit hinein. Wenn du das so machst, dann solltest du eine Fallunterscheidung machen.
Das Delta darf nur vom Epsilon abhängig [mm]\forall \varepsilon>0\exists \delta\ldots>0[/mm]
> Sonst wär ich ja jetzt fertig.
> Was folger ich denn jetzt?
>
> Kann man das noch abschätzen, ich weiß ja noch x>2?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Di 11.01.2011 | | Autor: | ella87 |
Wir haben leider nur Epsilon-Delta-Kriterium um Stetigkeit nachzuweisen.
Ich versteh nicht wieso ich eine Fallunterscheidung machen muss?
Ich geh doch bei der ganzen Rechnung von [mm] f_2[/mm] aus, wie kann ich da in [mm] mm]f_1[/mm] [/mm] rutschen?
Die Vorgehensweise ist doch okay oder?
Ich starte bei [mm]|f(x)-f(x_0 )| [/mm] und isoliere [mm]x-x_0 [/mm] um dann zu wissen wie ich Delta wählen muss damit das Kriteritum erfüllt ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Di 11.01.2011 | | Autor: | luis52 |
> [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
> [mm]f(x)=x+2[/mm] für [mm]x \le 2[/mm]
> [mm]f(x)=x^2-4x+8[/mm] für
> x>2
> Ist f in [mm]x_0 = 4[/mm] stetig?
>
> Ich habs mal mit Epsilon-Delta Kriterium probiert.
> Ich muss also für alle Epsilon größer 0 ein Delta
> größer 0 finden,
> sodass für
> [mm]|x-4|< \delta[/mm] folgt [mm]| f(x) = f(4)| < \epsilon[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Gesucht ist zu gegeben [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta=\delta(x_0)>0$, [/mm] so dass fuer alle Zahlen $x_$ mit [mm] $|x-x_0|=|x-2|<\delta \iff 2-\delta
[mm]| f(x) \red{-} f(4)| =| f(x)- 4|< \epsilon\iff 4-\epsilon
Beachte, dass fuer [mm] $2-\delta
>
> Ich darf aber Delta nicht in Abhängigkeit von x wählen,
> oder?
Nein, aber in Abhaengigkeit von [mm] $x_0=2$.
[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Di 11.01.2011 | | Autor: | ella87 |
> > [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
> > [mm]f(x)=x+2[/mm] für [mm]x \le 2[/mm]
> >
> [mm]f(x)=x^2-4x+8[/mm] für
> > x>2
> > Ist f in [mm]x_0 = 4[/mm] stetig?
> >
> > Ich habs mal mit Epsilon-Delta Kriterium probiert.
> > Ich muss also für alle Epsilon größer 0 ein Delta
> > größer 0 finden,
> > sodass für
> > [mm]|x-4|< \delta[/mm] folgt [mm]| f(x) = f(4)| < \epsilon[/mm]
>
>
> Gesucht ist zu gegeben [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]\delta=\delta(x_0)>0[/mm],
> so dass fuer alle Zahlen [mm]x_[/mm] mit [mm]|x-x_0|=|x-2|<\delta \iff 2-\delta
> gilt
>
Hier meinst du [mm]|x-x_0|=|x-4|<\delta \iff 4-\delta
[mm]x_0[/mm] ist doch 4
> [mm]| f(x) \red{-} f(4)| =| f(x)- 4|< \epsilon\iff 4-\epsilon
>
>
> Beachte, dass fuer [mm]2-\delta
> oder [mm]x>2_[/mm].
>
>
Das versteh ich auch nicht. x muss doch größer 2 sein. Das andere müsste doch wegfallen
> >
> > Ich darf aber Delta nicht in Abhängigkeit von x wählen,
> > oder?
>
> Nein, aber in Abhaengigkeit von [mm]x_0=2[/mm].
>
> vg Luis
Und irgendwie komm ich so auch auf kein Delta?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Di 11.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin ella87,
Entschuldigung, habe die Aufgabe nicht aufmerksam genug gelesen. Die
Chose soll ja in [mm] $x_0=4$ [/mm] betrachtet werden.
Also: Gesucht ist zu gegebenem [mm] $\epsilon>0 [/mm] $ ein $ [mm] \delta=\delta(x_0)>0 [/mm] $,
so dass fuer alle Zahlen $ x_ $ mit $ [mm] |x-x_0|=|x-4|<\delta \iff 4-\delta
1) Waehle zunachst [mm] $\delta$ [/mm] so klein, dass das Intervall
[mm] $(4-\delta,4+\delta)$ [/mm] rechts von der 2 liegt, also z.B. [mm] $\delta<1$.
[/mm]
Fuer Werte $x_$ aus diesem Intervall darfst du dann [mm] $f(x)=x^2-4x+8$
[/mm]
schreiben, so wie du es in deinem ersten Posting getan hast.
2) Ich verstehe nun auch, worum es dir geht: ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Wie muss [mm] $\delta$ [/mm] weiter gewaehlt werden, damit [mm] $|x-4|\cdot{}x [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $ erfuellt ist fuer alle $x_$ aus dem Invervall?
Angenommen, du haettest [mm] $\delta$ [/mm] schon bestimmt. Dann kann $x_$ nur
einen Wert kleiner als [mm] $4+\delta$ [/mm] annehmen und $|x-4|_$ einen Wert
[mm] $<\delta$. [/mm] Dann ist [mm] $(4+\delta)\delta$ [/mm] eine obere Schranke. Loese zur Bestimmung von [mm] $\delta$ [/mm] die Gleichung [mm] $(4+\delta)\delta=\varepsilon$ [/mm] ...
Bist du dir sicher, dass die Stetigkeit bei 4 nachgewiesen werden soll?
Die Stelle [mm] $x_1=2$ [/mm] ist viel "spannender".
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Di 11.01.2011 | | Autor: | ella87 |
> Moin ella87,
>
> Entschuldigung, habe die Aufgabe nicht aufmerksam genug
> gelesen. Die
> Chose soll ja in [mm]x_0=4[/mm] betrachtet werden.
>
> Also: Gesucht ist zu gegebenem [mm]\epsilon>0[/mm] ein
> [mm]\delta=\delta(x_0)>0 [/mm],
> so dass fuer alle Zahlen [mm]x_[/mm] mit
> [mm]|x-x_0|=|x-4|<\delta \iff 4-\delta
>
> 1) Waehle zunachst [mm]\delta[/mm] so klein, dass das Intervall
> [mm](4-\delta,4+\delta)[/mm] rechts von der 2 liegt, also z.B.
> [mm]\delta<1[/mm].
> Fuer Werte [mm]x_[/mm] aus diesem Intervall darfst du dann
> [mm]f(x)=x^2-4x+8[/mm]
> schreiben, so wie du es in deinem ersten Posting getan
> hast.
verstanden!
> 2) Ich verstehe nun auch, worum es dir geht:
> Wie muss [mm]\delta[/mm] weiter gewaehlt werden, damit [mm]|x-4|\cdot{}x < \epsilon[/mm]
> erfuellt ist fuer alle [mm]x_[/mm] aus dem Invervall?
genau!  Bei der Aufgabe sollen wir [mm]\epsilon - \delta - Kriterium [/mm] über, weil das irgendwie noch harkt (wie man hier an mir gut merken kann...)
> Angenommen, du haettest [mm]\delta[/mm] schon bestimmt. Dann kann
> [mm]x_[/mm] nur
> einen Wert kleiner als [mm]4+\delta[/mm] annehmen und [mm]|x-4|_[/mm] einen
> Wert
> [mm]<\delta[/mm]. Dann ist [mm](4+\delta)\delta[/mm] eine obere Schranke.
warum? Wie kommst du darauf? Ich hätte gedacht man müsste [mm]4+\delta[/mm] jetzt in [mm] f_[/mm] einsetzen, aber da hab ich dann
[mm](4+\delta)\delta[/mm]+8
und warum genau brauch ich die obere Schranke? Vermutlich zum abschätzen, aber wo schätzt man [mm]f(x)_[/mm] hier ab?
ich hab mir überlegt, dass es so sein könnte. Ich rechne einfach mal mit meiner Schranke:
[mm]|f(x_{ }) - f(4_{} )| = |x-4|*x [/mm] < [mm]|(4+\delta)\delta+8 - x^2 +4x-8|[/mm] = [mm]|(4+\delta)\delta-x(x+4)|[/mm] < [mm]|(4+\delta)\delta-(\delta+4)(\delta+4+4)| = |-8\delta-32| < \epsilon [/mm]
(das zweite kleiner gilt, weil [mm] x < \delta +4[/mm])
dann wäre [mm] \delta = \bruch{\epsilon -32}{8}[/mm]
> Loese zur Bestimmung von [mm]\delta[/mm] die Gleichung
> [mm](4+\delta)\delta=\varepsilon[/mm] ...
>
da hätte ich dann schonwieder Probleme, weil ich [mm]\delta[/mm] hier nicht isolieren kann...
> Bist du dir sicher, dass die Stetigkeit bei 4 nachgewiesen
> werden soll?
> Die Stelle [mm]x_1=2[/mm] ist viel "spannender".
>
keine Angst, um [mm]x_1=2[/mm] geht es noch in nem anderen Aufgabenteil, den hab ich aber schon.
Mit der Aufgabe hier sollen wir en einem "einfachen" Beispiel stetigkeit mit [mm]\epsilon - \delta - Kriterium [/mm] nachweisen.
die Vorgehensweise, die uns erklärt wurde war eben, bei
[mm]|f(x)-f(x_0 )|[/mm] starten, daraus [mm]|x-x_0 |[/mm] isolieren und dann kann man "ganz leicht" ablesen, wie man [mm]\delta[/mm] in Abhängigkeit von [mm]\epsilon[/mm] wählen kann.
Das seh ich allerdings nicht so.... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
ziemlich viel durcheinander hier!
wär nett, wenn du nochmal drüber schaust...danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Di 11.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin
>
> ziemlich viel durcheinander hier!
> wär nett, wenn du nochmal drüber schaust...danke!
Ich kann dir nicht folgen. Ich starte mal bei der quadratischen Gleichung (!) $ [mm] (4+\delta)\delta=\varepsilon [/mm] $. Sie besitzt die Loesungen [mm] $\delta_{1,2}=-2\mp\sqrt{4+\epsilon}$, [/mm] wovon nur [mm] $\delta_2=-2+\sqrt{4+\epsilon}$ [/mm] sinnvoll ist. Ich behaupte nun, dass gilt [mm] $|f(x)-f(4)|=|x-4|x<\epsilon$ [/mm] fuer alle $x_$ mit [mm] $|x-4|<\delta\iff 4-\delta< [/mm] x [mm] <4+\delta$ [/mm] und [mm] $\delta=\min\{1,-2+\sqrt{4+\epsilon}\}$.
[/mm]
Da $x_$ aus diesem Intervall stammt, ist [mm] $|x=4|<\delta$. [/mm] Ausserdem gilt [mm] $x<4+\delta$. [/mm] Also ist [mm] $|x-4|x<\delta(4+\delta)\le(2+\sqrt{4+\epsilon})(-2+\sqrt{4+\epsilon})=(4+\epsilon)-4=\epsilon$.
[/mm]
vg Luis
|
|
|
|
