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Epsilon-Delta Kriterium: Rückfrage, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Di 11.01.2011
Autor: ella87

Aufgabe
[mm]f: \IR \to \IR [/mm]
[mm]f(x)=x+2[/mm] für [mm]x \le 2[/mm]
[mm]f(x)=x^2-4x+8[/mm] für x>2
Ist f in [mm]x_0 = 4 [/mm] stetig?


Ich habs mal mit Epsilon-Delta Kriterium probiert.
Ich muss also für alle Epsilon größer 0 ein Delta größer 0 finden,
sodass für
[mm]|x-4|< \delta[/mm] folgt [mm]|f(x) = f(4)| < \epsilon[/mm]

[mm]|f(x) = f(4)| = |x^2-4x| = |x(x-4)| = |x-4|*|x| = |x-4|*x < \epsilon[/mm]

Ich darf aber Delta nicht in Abhängigkeit von x wählen, oder?
Sonst wär ich ja jetzt fertig.
Was folger ich denn jetzt?

Kann man das noch abschätzen,  ich weiß ja noch x>2?

        
Bezug
Epsilon-Delta Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Di 11.01.2011
Autor: wieschoo


> [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
>  [mm]f(x)=x+2[/mm] für [mm]x \le 2[/mm]
>  [mm]f(x)=x^2-4x+8[/mm] für
> x>2
>  Ist f in [mm]x_0 = 4[/mm] stetig?

also
[mm]f(x)=\begin{cases} f_1(x)=x+2 & x\leq 2 \\ f_2(x)=x^2-4x+8& x>2\end{cases}[/mm]

>  
> Ich habs mal mit Epsilon-Delta Kriterium probiert.
> Ich muss also für alle Epsilon größer 0 ein Delta
> größer 0 finden,

Ich weiß nicht wie viel du rechnen möchtest, aber genügt doch zu zeigen, dass [mm]\lim_{x\uparrow 2}f_1(x)=\lim_{x\downarrow2}f_2(x)[/mm]
Damit wäre ja f generell stetig und dann auch in dem Punkt [mm] $x_0=4$. [/mm]

>  sodass für
>  [mm]|x-4|< \delta[/mm] folgt [mm]|f(x) \red{-} f(4)| < \epsilon[/mm]
>  
> [mm]|f(x) \red{-} f(4)| = |x^2-4x| = |x(x-4)| = |x-4|*|x| = |x-4|*x < \epsilon[/mm]
>  
> Ich darf aber Delta nicht in Abhängigkeit von x wählen,
> oder?

Du darfst das auch nich so einfach ansetzen, denn es gibt ja einen Unterschied zwischen [mm]\delta=1[/mm] und [mm]\delta=6[/mm]. Denn einmal rutschst du in [mm]f_1[/mm] mit hinein. Wenn du das so machst, dann solltest du eine Fallunterscheidung machen.
Das Delta darf nur vom Epsilon abhängig [mm]\forall \varepsilon>0\exists \delta\ldots>0[/mm]

>  Sonst wär ich ja jetzt fertig.
> Was folger ich denn jetzt?
>  
> Kann man das noch abschätzen,  ich weiß ja noch x>2?


Bezug
                
Bezug
Epsilon-Delta Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 Di 11.01.2011
Autor: ella87

Wir haben leider nur Epsilon-Delta-Kriterium um Stetigkeit nachzuweisen.
Ich versteh nicht wieso ich eine Fallunterscheidung machen muss?
Ich geh doch bei der ganzen Rechnung von [mm] f_2[/mm] aus, wie kann ich da in [mm] mm]f_1[/mm] [/mm] rutschen?
Die Vorgehensweise ist doch okay oder?
Ich starte bei [mm]|f(x)-f(x_0 )| [/mm] und isoliere [mm]x-x_0 [/mm] um dann zu wissen wie ich Delta wählen muss damit das Kriteritum erfüllt ist.

Bezug
        
Bezug
Epsilon-Delta Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Di 11.01.2011
Autor: luis52


> [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
>  [mm]f(x)=x+2[/mm] für [mm]x \le 2[/mm]
>  [mm]f(x)=x^2-4x+8[/mm] für
> x>2
>  Ist f in [mm]x_0 = 4[/mm] stetig?
>  
> Ich habs mal mit Epsilon-Delta Kriterium probiert.
> Ich muss also für alle Epsilon größer 0 ein Delta
> größer 0 finden,
>  sodass für
>  [mm]|x-4|< \delta[/mm] folgt [mm]| f(x) = f(4)| < \epsilon[/mm]

[notok]

Gesucht ist zu gegeben [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta=\delta(x_0)>0$, [/mm] so dass fuer alle Zahlen $x_$ mit [mm] $|x-x_0|=|x-2|<\delta \iff 2-\delta
[mm]| f(x) \red{-} f(4)| =| f(x)- 4|< \epsilon\iff 4-\epsilon

Beachte,  dass fuer [mm] $2-\delta

>  
> Ich darf aber Delta nicht in Abhängigkeit von x wählen,
> oder?

Nein, aber in Abhaengigkeit von [mm] $x_0=2$. [/mm]

vg Luis

Bezug
                
Bezug
Epsilon-Delta Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:46 Di 11.01.2011
Autor: ella87


> > [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
>  >  [mm]f(x)=x+2[/mm] für [mm]x \le 2[/mm]
>  >  
> [mm]f(x)=x^2-4x+8[/mm] für
> > x>2
>  >  Ist f in [mm]x_0 = 4[/mm] stetig?
>  >  
> > Ich habs mal mit Epsilon-Delta Kriterium probiert.
> > Ich muss also für alle Epsilon größer 0 ein Delta
> > größer 0 finden,
>  >  sodass für
>  >  [mm]|x-4|< \delta[/mm] folgt [mm]| f(x) = f(4)| < \epsilon[/mm]
>  [notok]
>  
> Gesucht ist zu gegeben [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]\delta=\delta(x_0)>0[/mm],
> so dass fuer alle Zahlen [mm]x_[/mm] mit [mm]|x-x_0|=|x-2|<\delta \iff 2-\delta
> gilt
>  

Hier meinst du [mm]|x-x_0|=|x-4|<\delta \iff 4-\delta [mm]x_0[/mm] ist doch 4


> [mm]| f(x) \red{-} f(4)| =| f(x)- 4|< \epsilon\iff 4-\epsilon
>  
>
> Beachte,  dass fuer [mm]2-\delta
> oder [mm]x>2_[/mm].
>  
>

Das versteh ich auch nicht. x muss doch größer 2 sein. Das andere müsste doch wegfallen  


> >  

> > Ich darf aber Delta nicht in Abhängigkeit von x wählen,
> > oder?
>  
> Nein, aber in Abhaengigkeit von [mm]x_0=2[/mm].
>  
> vg Luis



Und irgendwie komm ich so auch auf kein Delta?

Bezug
                        
Bezug
Epsilon-Delta Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Di 11.01.2011
Autor: luis52

Moin ella87,

Entschuldigung, habe die Aufgabe nicht aufmerksam genug gelesen. Die
Chose soll ja in [mm] $x_0=4$ [/mm] betrachtet werden.

Also: Gesucht ist zu gegebenem [mm] $\epsilon>0 [/mm] $ ein $ [mm] \delta=\delta(x_0)>0 [/mm] $,
so dass fuer alle Zahlen $ x_ $ mit $ [mm] |x-x_0|=|x-4|<\delta \iff 4-\delta
1) Waehle zunachst [mm] $\delta$ [/mm] so klein, dass das Intervall
[mm] $(4-\delta,4+\delta)$ [/mm] rechts von der 2 liegt, also z.B. [mm] $\delta<1$. [/mm]
Fuer Werte $x_$ aus diesem Intervall darfst du dann [mm] $f(x)=x^2-4x+8$ [/mm]
schreiben, so wie du es in deinem ersten Posting getan hast.

2) Ich verstehe nun auch, worum es dir geht:  [peinlich]
Wie muss [mm] $\delta$ [/mm] weiter gewaehlt werden, damit [mm] $|x-4|\cdot{}x [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $ erfuellt ist fuer alle $x_$ aus dem Invervall?

Angenommen, du haettest [mm] $\delta$ [/mm] schon bestimmt.  Dann kann $x_$ nur
einen Wert kleiner als [mm] $4+\delta$ [/mm] annehmen und $|x-4|_$ einen Wert
[mm] $<\delta$. [/mm]  Dann ist [mm] $(4+\delta)\delta$ [/mm] eine obere Schranke.  Loese zur Bestimmung von [mm] $\delta$ [/mm] die Gleichung [mm] $(4+\delta)\delta=\varepsilon$ [/mm] ...

Bist du dir sicher, dass die Stetigkeit bei 4 nachgewiesen werden soll?
Die Stelle [mm] $x_1=2$ [/mm] ist viel "spannender".

vg Luis                    

Bezug
                                
Bezug
Epsilon-Delta Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Di 11.01.2011
Autor: ella87


> Moin ella87,
>  
> Entschuldigung, habe die Aufgabe nicht aufmerksam genug
> gelesen. Die
>  Chose soll ja in [mm]x_0=4[/mm] betrachtet werden.
>
> Also: Gesucht ist zu gegebenem [mm]\epsilon>0[/mm] ein
> [mm]\delta=\delta(x_0)>0 [/mm],
>  so dass fuer alle Zahlen [mm]x_[/mm] mit
> [mm]|x-x_0|=|x-4|<\delta \iff 4-\delta
>  
> 1) Waehle zunachst [mm]\delta[/mm] so klein, dass das Intervall
>  [mm](4-\delta,4+\delta)[/mm] rechts von der 2 liegt, also z.B.
> [mm]\delta<1[/mm].
>  Fuer Werte [mm]x_[/mm] aus diesem Intervall darfst du dann
> [mm]f(x)=x^2-4x+8[/mm]
>  schreiben, so wie du es in deinem ersten Posting getan
> hast.

verstanden!

> 2) Ich verstehe nun auch, worum es dir geht:  [peinlich]
> Wie muss [mm]\delta[/mm] weiter gewaehlt werden, damit [mm]|x-4|\cdot{}x < \epsilon[/mm]
> erfuellt ist fuer alle [mm]x_[/mm] aus dem Invervall?

genau! :-) Bei der Aufgabe sollen wir [mm]\epsilon - \delta - Kriterium [/mm] über, weil das irgendwie noch harkt (wie man hier an mir gut merken kann...)


> Angenommen, du haettest [mm]\delta[/mm] schon bestimmt.  Dann kann
> [mm]x_[/mm] nur
>  einen Wert kleiner als [mm]4+\delta[/mm] annehmen und [mm]|x-4|_[/mm] einen
> Wert
>  [mm]<\delta[/mm].  Dann ist [mm](4+\delta)\delta[/mm] eine obere Schranke.  

warum? Wie kommst du darauf? Ich hätte gedacht man müsste [mm]4+\delta[/mm] jetzt in [mm] f_[/mm] einsetzen, aber da hab ich dann
[mm](4+\delta)\delta[/mm]+8
und warum genau brauch ich die obere Schranke? Vermutlich zum abschätzen, aber wo schätzt man [mm]f(x)_[/mm] hier ab?

ich hab mir überlegt, dass es so sein könnte. Ich rechne einfach mal mit meiner Schranke:

[mm]|f(x_{ }) - f(4_{} )| = |x-4|*x [/mm] <  [mm]|(4+\delta)\delta+8 - x^2 +4x-8|[/mm] = [mm]|(4+\delta)\delta-x(x+4)|[/mm] < [mm]|(4+\delta)\delta-(\delta+4)(\delta+4+4)| = |-8\delta-32| < \epsilon [/mm]
(das zweite kleiner gilt, weil [mm] x < \delta +4[/mm])

dann wäre [mm] \delta = \bruch{\epsilon -32}{8}[/mm]



> Loese zur Bestimmung von [mm]\delta[/mm] die Gleichung
> [mm](4+\delta)\delta=\varepsilon[/mm] ...
>  

da hätte ich dann schonwieder Probleme, weil ich [mm]\delta[/mm] hier nicht isolieren kann...

> Bist du dir sicher, dass die Stetigkeit bei 4 nachgewiesen
> werden soll?
>  Die Stelle [mm]x_1=2[/mm] ist viel "spannender".
>  

keine Angst, um [mm]x_1=2[/mm]  geht es noch in nem anderen Aufgabenteil, den hab ich aber schon.
Mit der Aufgabe hier sollen wir en einem "einfachen" Beispiel stetigkeit mit [mm]\epsilon - \delta - Kriterium [/mm] nachweisen.

die Vorgehensweise, die uns erklärt wurde war eben, bei
[mm]|f(x)-f(x_0 )|[/mm] starten, daraus [mm]|x-x_0 |[/mm] isolieren und dann kann man "ganz leicht" ablesen, wie man [mm]\delta[/mm] in Abhängigkeit von [mm]\epsilon[/mm] wählen kann.
Das seh ich allerdings nicht so....                    [verwirrt]


ziemlich viel durcheinander hier!
wär nett, wenn du nochmal drüber schaust...danke!

Bezug
                                        
Bezug
Epsilon-Delta Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 Di 11.01.2011
Autor: luis52

Moin

>
> ziemlich viel durcheinander hier!
>  wär nett, wenn du nochmal drüber schaust...danke!


Ich kann dir nicht folgen. Ich starte mal bei der quadratischen Gleichung (!) $ [mm] (4+\delta)\delta=\varepsilon [/mm] $. Sie besitzt die Loesungen [mm] $\delta_{1,2}=-2\mp\sqrt{4+\epsilon}$, [/mm] wovon nur [mm] $\delta_2=-2+\sqrt{4+\epsilon}$ [/mm] sinnvoll ist. Ich behaupte nun, dass gilt  [mm] $|f(x)-f(4)|=|x-4|x<\epsilon$ [/mm] fuer alle $x_$ mit [mm] $|x-4|<\delta\iff 4-\delta< [/mm] x [mm] <4+\delta$ [/mm] und [mm] $\delta=\min\{1,-2+\sqrt{4+\epsilon}\}$. [/mm]

Da $x_$ aus diesem Intervall stammt, ist [mm] $|x=4|<\delta$. [/mm] Ausserdem gilt [mm] $x<4+\delta$. [/mm] Also ist [mm] $|x-4|x<\delta(4+\delta)\le(2+\sqrt{4+\epsilon})(-2+\sqrt{4+\epsilon})=(4+\epsilon)-4=\epsilon$. [/mm]

vg Luis

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