Epsilon Delta Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Di 12.08.2008 | | Autor: | MALPI |
| Aufgabe | f : [0, 1] [mm] \in \IR [/mm] sei eine beschränkte, aber nicht notwendig stetige
Funktion. Zeigen Sie mit Hilfe des ǫ-δ-Kriteriums, dass die Funktion g : [0, 1] [mm] \in \IR [/mm] mit g(x) := x · f(x) in 0 stetig ist. |
Hallo,
Zur Aufgabe.
Das Kriterium sagt ja das für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 existieren muss damit die Funktion stetig ist.
Nun habe ich aus der Aufgenstellung folgendes geschlossen.
Da f(x) beschränkt ist, muss ein S [mm] \in \IR+ [/mm] existieren so dass |f(x)| < S [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D[0,1]
[mm] \Rightarrow |g(x)-g(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |x*f(x) - [mm] x_0*f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wähle [mm] x_0 [/mm] = 0 und f(x) = S
[mm] \Rightarrow [/mm] |x*S-0*S| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |x*S|< [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |x| * |S| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x < [mm] \varepsilon [/mm] * S
[mm] \Rightarrow [/mm] wähle [mm] \delta [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] * S
Und damit habe ich doch gezeigt das g(x) in x = 0 stetig ist.
Oder nicht?!
MfG
MALPI
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Di 12.08.2008 | | Autor: | MALPI |
Korrektur:
es muss x < [mm] \varepsilon [/mm] / S rauskommen und somit auch [mm] \delta [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] /s
Sorry ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Di 12.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> f : [0, 1] [mm]\in \IR[/mm] sei eine beschränkte, aber nicht
> notwendig stetige
> Funktion. Zeigen Sie mit Hilfe des
> ǫ-δ-Kriteriums, dass die Funktion g : [0, 1] [mm]\in \IR[/mm]
> mit g(x) := x · f(x) in 0 stetig ist.
> Hallo,
>
> Zur Aufgabe.
>
> Das Kriterium sagt ja das für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein
> [mm]\delta[/mm] > 0 existieren muss damit die Funktion stetig ist.
>
> Nun habe ich aus der Aufgenstellung folgendes geschlossen.
>
> Da f(x) beschränkt ist, muss ein S [mm]\in \IR+[/mm] existieren so
> dass |f(x)| < S [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] D[0,1]
>
> [mm]\Rightarrow |g(x)-g(x_0)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] |x*f(x) - [mm]x_0*f(x_0)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> Wähle [mm]x_0[/mm] = 0 und f(x) = S
$f(x)=S$ kannst du nicht wählen, da du nur weisst, dass $|f(x)| < S$ ist. Daher ist die folgende Zeile falsch.
> [mm]\Rightarrow[/mm] |x*S-0*S| < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] |x*S|< [mm]\varepsilon[/mm]
Das ist so auch nicht richtig, weil nur $|f(x)| < S$, du musst also erst das Produkt auseinanderziehen.
Die Argumentation ist vom Ansatz her richtig, denn
[mm] \varepsilon > |x*f(x) - x_0*f(x_0)| = |x*f(x)| [/mm]
weil [mm] $x_0=0$ [/mm] ist, und damit
[mm] \varepsilon >|x*f(x)| = |x|*|f(x)| < S*|x| = S* |x-x_0| [/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] |x| * |S| < [mm]\varepsilon[/mm]
Da S>0 ist, darfst du die Betragsstriche darum weglassen.
Aber: wenn du die Ungleichungskette anschaust, siehst du, dass einmal > und einmal < dasteht. Das geht nicht ganz so einfach, du musst Voraussetzung und Folgerung richtig aufbauen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] x < [mm]\varepsilon[/mm] * S
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du darfst nicht einfach den Betrag weglassen, denn das Vorzeichen von x ist beliebig! Und das S hast du falsch rübermultipliziert.
> [mm]\Rightarrow[/mm] wähle [mm]\delta[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] * S
[mm] \delta = \bruch{\varepsilon}{S} [/mm].
Dann kannst du nämlich deine Ungleichungskette umdrehen:
Gegeben ist [mm] $\varepsilon$. [/mm] Für [mm] $x<\delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{S} [/mm] $ gilt:
[mm]|g(x)-g(x_0)| = |xf(x)-x_0f(x_0)|=|xf(x)|=|x||f(x)| < S |x| < S \bruch{\varepsilon}{S} <\varepsilon.[/mm]
Damit hast du zu jedem [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein passendes [mm] $\delta$ [/mm] gefunden, also ist g im Punkt 0 stetig.
Also: deine Idee war schon richtig, aber du musst die Argumentationskette sorgfältig aufbauen.
Viele Grüße
Rainer
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