Ereignisse mengentheoretisch < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 So 23.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | Seien n,k [mm] \in \IN [/mm] und [mm] A_1,...A_n [/mm] Ereignisse in einem Ereignisraum [mm] \Omega. [/mm] BEschreibe die folgenden Ereignisse mengentheoretisch :
a) Jedes der Ereignisse [mm] A_1,...,A_n [/mm] tritt ein.
b) Mindestens eines der Ereignisse tritt ein.
c)Keines der Ereignisse tritt ein.
d)Entweder [mm] A_1 [/mm] oder [mm] A_2 [/mm] tritt ein, aber nicht beides.
e)Genau k der Ereignisse treten ein.
f) Höchstens zwei der Ereignisse treten ein |
Hallöchen,
ich bräuchte nochmak hilfe :) Könntet ihr bitte einmal drüber gucken und korrigieren und mir bitte Tipps geben?
a) [mm] \Omega
[/mm]
b) mit dem Mindestens komme ich nicht zurecht
c) [mm] \emptyset
[/mm]
d) [mm] A_1 \cup A_2
[/mm]
e) [mm] \Omega [/mm] \ [mm] (A_k+1 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_n)
[/mm]
f) MIt dem höchstens weiß ich auch nicht sorecht was ich machen soll. Heißt ja keins, eins oder zwei Ergebnisse treten ein.
Danke und schönen Abend noch :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 So 23.10.2016 | | Autor: | hippias |
Ersteinmal nur a)
Z.B. sei [mm] $\Omega= \{1,2,3,4,5,6\}$. [/mm] Es sei [mm] $A_{1}$: [/mm] "Die Zahl ist gerade" und [mm] $A_{2}$: [/mm] "Die Zahl ist grösser als $3$"
1. Gib [mm] $A_{1}$ [/mm] und [mm] $A_{2}$ [/mm] in Mengenschreibweise an.
2. Was bedeutet "jedes der Ereignisse [mm] $A_{1}$ [/mm] und [mm] $A_{2}$ [/mm] tritt ein" in Worten und in Mengeschreibweise?
3. Verallgemeinere dies auf Aufgabenteil a)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 23.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
> Ersteinmal nur a)
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> Z.B. sei [mm]\Omega= \{1,2,3,4,5,6\}[/mm]. Es sei [mm]A_{1}[/mm]: "Die Zahl
> ist gerade" und [mm]A_{2}[/mm]: "Die Zahl ist grösser als [mm]3[/mm]"
>
> 1. Gib [mm]A_{1}[/mm] und [mm]A_{2}[/mm] in Mengenschreibweise an.
[mm] A_1 =\{2,4,6\} [/mm] und [mm] A_2 [/mm] = [mm] \{4,5,6\}
[/mm]
>
> 2. Was bedeutet "jedes der Ereignisse [mm]A_{1}[/mm] und [mm]A_{2}[/mm] tritt
> ein" in Worten und in Mengeschreibweise?
[mm] A_1\cap A_2 [/mm] = [mm] \{w \in \Omega : w \in A_1, w \in A_2\}= \{4,6\} [/mm] = alle gerade zahlen größer als 3
>
> 3. Verallgemeinere dies auf Aufgabenteil a)
Klar dann werden nur die "gemeinsamen" Eigenschaften gesucht.
Da ich aber nichts genauerer über die Ereignisse weiß wäre die gesuchte Antwort
[mm] \{w \in \Omega : w \in A_1,..., w \in A_n\} [/mm] oder?
Ist das so korrekt??
Dank dir!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 So 23.10.2016 | | Autor: | hippias |
Ja, das ist richtig; kürzer kann man schreiben [mm] $\cap_{k=1}^{n} A_{k}$.
[/mm]
Um die richtige Lösung für b) zu finden kannst Du auch ersteinmal das Problem für das kleine Beispiel lösen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 So 23.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
okay. Ich betrachte als wieder [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,4,5,6\} [/mm] und [mm] A_1 =\{2,4,6\}, A_2 =\{4,5,6\}
[/mm]
jetzt tritt mind. eins der Ereignisse ein. Entweder nur [mm] A_1, [/mm] nur [mm] A_2 [/mm] oder aber auch beide. Für beide s.a)
[mm] \{w \in \Omega : w \in A_1 \vee w \in A_2\} [/mm] wäre ja [mm] A_1 [/mm] oder [mm] A_2. [/mm] Aber die Möglichkeit [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] müsste ich ja mit einschliessen oder?
Sinn würde für mich machen [mm] A_1 [/mm] oder [mm] A_2 [/mm] verknüpfen mit [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2
[/mm]
[mm] \{w \in \Omega : w \in A_1 \vee w \in A_2\} \cup \{w \in \Omega : w \in A_1,..., w \in A_n\} [/mm] müsste ja umgeformt das gleiche sein wie [mm] \{w \in \Omega : w \in A_1 \vee w \in A_2\} [/mm] oder?
dementsprechend wäre die Lösung für mindestens ein ERgebnis tritt ein : [mm] \cup_{k=1}^{n} A_{k} [/mm] ?
Dank dir :)
c)Keines der Ereignisse tritt ein. Wäre ja [mm] (\cap_{k=1}^{n} A_{k})^c
[/mm]
d)Entweder $ [mm] A_1 [/mm] $ oder $ [mm] A_2 [/mm] $ tritt ein, aber nicht beides. [mm] A_1 \cup A_2 [/mm] = [mm] \{w \in \Omega : w \in A_1 oder w \in A_2\}
[/mm]
e)Genau k der Ereignisse treten ein. = [mm] (A_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_2 \cap (A_n)^c)
[/mm]
f) Höchstens zwei der Ereignisse treten ein
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Hiho,
> dementsprechend wäre die Lösung für mindestens ein
> ERgebnis tritt ein : [mm]\cup_{k=1}^{n} A_{k}[/mm] ?
korrekt.
Schöner finde ich aber [mm] $\bigcup_{k=1}^n A_k$ [/mm] 
> c)Keines der Ereignisse tritt ein. Wäre ja [mm](\cap_{k=1}^{n} A_{k})^c[/mm]
Nein. Schreibe das doch mal für dein Beispiel auf. Also berechne in deinem Beispiel mal [mm]\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right)^c[/mm]
Du wirst sehen, dass du einen (kleinen) Denkfehler hast.
"Kein Ereignis tritt ein" ist eben nicht identisch "Nicht alle Ereignisse treten (gleichzeitig) ein".
> d)Entweder [mm]A_1[/mm] oder [mm]A_2[/mm] tritt ein, aber nicht beides. [mm]A_1 \cup A_2[/mm]
> = [mm]\{w \in \Omega : w \in A_1 oder w \in A_2\}[/mm]
Wo wäre hier der Unterschied zu [mm] "$A_1$ [/mm] oder [mm] $A_2$ [/mm] tritt ein"?
Nach deinem Aufschrieb gäbe es keinen Unterschied. Da fehlt also die "aber nicht beides"-Bedingung bei dir.
> e)Genau k
> der Ereignisse treten ein. = [mm](A_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap A_2 \cap (A_n)^c)[/mm]
Nein, hier hast du ja identisch dasselbe aufgeschrieben wie bei c).
Beachte, dass [mm] $\bigcap_{k=1}^n A_k$ [/mm] nur eine Kurzschreibweise ist für [mm] $A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n$
[/mm]
> f) Höchstens zwei der Ereignisse treten ein
e und f machen wir mal, wenn du bis d) alle verstanden hast.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Mo 24.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
> Hiho,
>
> > dementsprechend wäre die Lösung für mindestens ein
> > ERgebnis tritt ein : [mm]\cup_{k=1}^{n} A_{k}[/mm] ?
>
> korrekt.
> Schöner finde ich aber [mm]\bigcup_{k=1}^n A_k[/mm]
Danke! :)
>
> > c)Keines der Ereignisse tritt ein. Wäre ja [mm](\cap_{k=1}^{n} A_{k})^c[/mm]
>
> Nein. Schreibe das doch mal für dein Beispiel auf. Also
> berechne in deinem Beispiel mal [mm]\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right)^c[/mm]
>
> Du wirst sehen, dass du einen (kleinen) Denkfehler hast.
> "Kein Ereignis tritt ein" ist eben nicht identisch "Nicht
> alle Ereignisse treten (gleichzeitig) ein".
naja A tritt ein. dann bedeutet [mm] A^c, [/mm] dass A nicht eintritt.
Zb keines der 3 ereignisse A,B,C tritt ein wäre ja [mm] A^c \cup B^c \cup C^c [/mm] = (A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap C)^c [/mm] oder etwa nicht? deswegen hatte ich [mm] \left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right)^c [/mm] gewählt.
ich wähle jetzt wieder [mm] \Omega \{1,2,3,4,5,6\} [/mm] und [mm] A=\{2,4,6\} [/mm] und [mm] B=\{4,5,6\}
[/mm]
A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \{4,6\} [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B [mm] )^c [/mm] = [mm] \{w \in \Omega : w \in A, w \in B\}^c [/mm] = [mm] \{4,6\}^c [/mm] = [mm] \Omega [/mm] \ [mm] \{4,6\} [/mm] = [mm] \{1,2,3,5\} [/mm] damit wäre ja keins meiner ereignisse eingetreten?
Heißt hier wäre [mm] \left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right)^c [/mm] = [mm] \Omega [/mm] \ [mm] \bigcap_{k=1}^{n} A_{k} [/mm] oder?
>
>
> > d)Entweder [mm]A_1[/mm] oder [mm]A_2[/mm] tritt ein, aber nicht beides. [mm]A_1 \cup A_2[/mm]
> > = [mm]\{w \in \Omega : w \in A_1 oder w \in A_2\}[/mm]
> Wo wäre
> hier der Unterschied zu "[mm]A_1[/mm] oder [mm]A_2[/mm] tritt ein"?
> Nach deinem Aufschrieb gäbe es keinen Unterschied. Da
> fehlt also die "aber nicht beides"-Bedingung bei dir.
Ah okay danke.
dann müsste ich ja eigengtlich [mm] (A_1 \cup A_2) \cap (A_1 \cap A_2)^c [/mm] oder? damit nehme ich ja raus, dass [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] gleichzeitig war werden.
>
> > e)]Genau k
> > der Ereignisse treten ein. = [mm](A_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap A_2 \cap (A_n)^c)[/mm
>
> Nein, hier hast du ja identisch dasselbe aufgeschrieben wie
> bei c).
> Beachte, dass [mm]\bigcap_{k=1}^n A_k[/mm] nur eine
> Kurzschreibweise ist für [mm]A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n[/mm]
da sollte statt A_2 A_k stehen. also A_1 bis A_k treten ein aber A_n nicht. deswegen (A_1 \cap[/mm] ... [mm][mm] \cap A_k \cap (A_n)^c)
[/mm]
>
> > f) Höchstens zwei der Ereignisse treten ein
> e und f machen wir mal, wenn du bis d) alle verstanden
> hast.
>
> Gruß,
> Gono
>
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Hiho,
> Zb keines der 3 ereignisse A,B,C tritt ein wäre ja [mm]A^c \cup B^c \cup C^c[/mm] = (A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap C)^c[/mm] oder etwa nicht?cht!
etwa nicht!
[mm]A^c \cup B^c \cup C^c[/mm] in Worten ist doch "A tritt nicht ein oder B tritt nicht ein oder C tritt nicht ein" bzw "Mindestens eines tritt nicht ein".
Du willst aber "Alle treten nicht ein" oder eben "A tritt nicht ein und B tritt nicht ein und C tritt nicht ein".
"Keins" ist also äquivalent zu "Alle nicht".
> [mm]\{4,6\}^c[/mm] = [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\{4,6\}[/mm] = [mm]\{1,2,3,5\}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> damit wäre ja keins meiner ereignisse eingetreten?
Dein Ereignis tritt doch ein, sobald ein Element davon eintritt.
Würfelst du nun bspw eine 2, dann ist [mm] $(A\cap B)^c$ [/mm] eingetreten, aber eben auch A!
Das soll aber nicht eintreten.
> Heißt hier wäre [mm]\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right)^c[/mm] =
> [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}[/mm] oder?
Ja, das ist die Definition der Komplementbildung.
> dann müsste ich ja eigengtlich [mm](A_1 \cup A_2) \cap (A_1 \cap A_2)^c[/mm] oder? damit nehme ich ja raus, dass [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm] gleichzeitig war werden.
Und weil sich das so doof schreibt, gibt es dafür die Definition der ![[]](/images/popup.gif) symmetrischen Differenz, die eine Kurzschreibweise dafür ist.
D.h. statt [mm](A_1 \cup A_2) \cap (A_1 \cap A_2)^c[/mm] schreibt man einfach [mm] $A_1\triangle A_2$.
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Mo 24.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
> Hiho,
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> > Zb keines der 3 ereignisse A,B,C tritt ein wäre ja [mm]A^c \cup B^c \cup C^c[/mm]
> = (A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap C)^c[/mm] oder etwa nicht?cht!
>
> etwa nicht!
> [mm]A^c \cup B^c \cup C^c[/mm] in Worten ist doch "A tritt nicht
> ein oder B tritt nicht ein oder C tritt nicht ein" bzw
> "Mindestens eines tritt nicht ein".
> Du willst aber "Alle treten nicht ein" oder eben "A tritt
> nicht ein und B tritt nicht ein und C tritt nicht ein".
> "Keins" ist also äquivalent zu "Alle nicht".
>
Okay. Das macht Sinn! 😫
Aber dann müssten doch alle nicht [mm] A^c \cap B^c \cap C^c [/mm] sein oder??
>
> > [mm]\{4,6\}^c[/mm] = [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\{4,6\}[/mm] = [mm]\{1,2,3,5\}[/mm]
>
>
> > damit wäre ja keins meiner ereignisse eingetreten?
> Dein Ereignis tritt doch ein, sobald ein Element davon
> eintritt.
> Würfelst du nun bspw eine 2, dann ist [mm](A\cap B)^c[/mm]
> eingetreten, aber eben auch A!
> Das soll aber nicht eintreten.
>
> > Heißt hier wäre [mm]\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right)^c[/mm] =
> > [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}[/mm] oder?
>
> Ja, das ist die Definition der Komplementbildung.
>
> > dann müsste ich ja eigengtlich [mm](A_1 \cup A_2) \cap (A_1 \cap A_2)^c[/mm]
> oder? damit nehme ich ja raus, dass [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm]
> gleichzeitig war werden.
>
> Und weil sich das so doof schreibt, gibt es dafür die
> Definition der
> symmetrischen Differenz,
> die eine Kurzschreibweise dafür ist.
> D.h. statt [mm](A_1 \cup A_2) \cap (A_1 \cap A_2)^c[/mm] schreibt
> man einfach [mm]A_1\triangle A_2[/mm].
>
Dank dir!!!! 😊
> Gruß,
> Gono
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Hiho,
> Okay. Das macht Sinn! 😫
> Aber dann müssten doch alle nicht [mm]A^c \cap B^c \cap C^c[/mm]
> sein oder??
korrekt. Oder anders geschrieben $(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup C)^c$.
[/mm]
D.h. "keins" ist eben das Komplement von "mindestens eins".
Nun wag dich mal an e) und f)
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Mi 26.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
E) genau k der Ereignisse.
Bei meiner Methode hätte ich ja einfach die ersten k gewählt aber das muss ja für alle möglichen gelten.
Ich definiere mir eine Menge J [mm] \subset \{1,...,n\}mit [/mm] #J=k
[mm] \bigcup_{J \in \{1,..,n\}, |J|=k}(\bigcap_{j \in J} (A_j) \bigcap_{i \in \{1,...n\} \ J} (A_i)^c)
[/mm]
F) G= höchstens zwei Ergebnisse treten ein.
Das Komplement dazu ist H=Mind 3 treten ein.
G= [mm] \Omega [/mm] \ H = [mm] \Omega [/mm] \ [mm] \bigcup_{J \in \{1,..,n\}, |J|=3} (\bigcap_{j \in J} (A_j)
[/mm]
Stimmt das so? Hab da jetzt stundenlang drüber nachgedacht und rumgebastelt!
Ginge das auch einfacher?
Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Do 27.10.2016 | | Autor: | hippias |
Das ist alles unsauber aufgeschrieben:
> E) genau k der Ereignisse.
> Bei meiner Methode hätte ich ja einfach die ersten k
> gewählt aber das muss ja für alle möglichen gelten.
> Ich definiere mir eine Menge J [mm]\subset \{1,...,n\}mit[/mm] #J=k
Nein, nicht eine $k$-elementige Menge, sondern Du betrachtest alle $k$-elementigen Mengen
> [mm]\bigcup_{J \in \{1,..,n\}, |J|=k}(\bigcap_{j \in J} (A_j) \bigcap_{i \in \{1,...n\} \ J} (A_i)^c)[/mm]
Nein, schreibe so: [mm] $\bigcup_{J \subseteq \{1,..,n\}, |J|=k}\left(\bigcap_{j \in J} A_j \cap \bigcap_{i \in \{1,...n\} \backslash J} A_i^c\right)
[/mm]
>
> F) G= höchstens zwei Ergebnisse treten ein.
> Das Komplement dazu ist H=Mind 3 treten ein.
> G= [mm]\Omega[/mm] \ H = [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\bigcup_{J \in \{1,..,n\}, |J|=3} (\bigcap_{j \in J} (A_j)[/mm]
>
Nein, so: $ G= [mm] \Omega \backslash [/mm] H = [mm] \Omega \backslash \left(\bigcup_{J \subseteq \{1,..,n\}, |J|=3} \left(\bigcap_{j \in J} A_j\right)\right)$ [/mm]
> Stimmt das so? Hab da jetzt stundenlang drüber nachgedacht
> und rumgebastelt!
Was gibt es schöneres?!
>
> Ginge das auch einfacher?
>
> Danke :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Fr 28.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
Danke für deine Hilfe :)
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