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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Do 19.06.2014 | | Autor: | Moebius |
| Aufgabe | Das lineare Gleichungssystem
[mm] \begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & 3 & 1 & 1\\
0 & 0& 1 & 1\\
0 & 0 & -1 & 1\\
\end{pmatrix}\cdot \vec(x) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
6\\4\\2\\0
\end{pmatrix}
[/mm]
soll iterativ gelöst werden. Beginnen Sie mit dem Startvektor [mm] x^0 [/mm] = [mm] \vec{0}. [/mm]
1. Führen Sie zwei Schritte des Einzelschrittverfahrens durch.
2. Wie erklären Sie die Beobachtung?
3. Wie kann man das Problem beheben? Beschreiben Sie das Verfahren und begründen Sie Ihr Vorgehen. |
Zu 1.) Hier habe ich im ersten Iterationsschritt x = [mm] \begin{pmatrix}
2\\2\\2\\2\\ \end{pmatrix} [/mm] und im zweiten Schritt wieder die Startlösung x = [mm] \begin{pmatrix}
0\\0\\0\\0\\ \end{pmatrix}
[/mm]
Ich drehe mich also im Kreis. Zu den anderen Fragen: woran liegt das und was kann ich dagegen tun? Was mir aufgafallen ist, ist das die Matrix nicht diagonaldominant ist (nicht mal schwach), nach den Sätzen aus der Vorlesung kann ich aber nun nur sagen, dass die Konvergenz nicht gesichert ist, kann sie aber auch nicht ausschließen.
Für Tipps wäre ich euch echt dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Do 19.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Moebius!
> Ich drehe mich also im Kreis.
Ja.
> Was mir aufgafallen ist, ist das die Matrix
> nicht diagonaldominant ist (nicht mal schwach), nach den
> Sätzen aus der Vorlesung kann ich aber nun nur sagen, dass
> die Konvergenz nicht gesichert ist, kann sie aber auch
> nicht ausschließen.
Richtig.
> Für Tipps wäre ich euch echt dankbar.
Zeige, dass für die Interationsmatrix [mm] $S\$ [/mm] gilt: [mm] $\rho(S)\ge [/mm] 1$.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Do 19.06.2014 | | Autor: | Moebius |
Aber wenn keine Konvergenz vorliegt, was kann ich dann dagegen tun? (siehe Punkt 3)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Do 19.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Aber wenn keine Konvergenz vorliegt, was kann ich dann
> dagegen tun? (siehe Punkt 3)
Eventuell durch Spalten- bzw. Zeilenvertauschungen, sodass
für die Iterationsmatrix [mm] $S\$ [/mm] das gewünschte gilt. Beachte,
dass die Zeilenvertauschungen auch auf der rechten Seite
des linearen Gleichungssystems gemacht werden müssen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Do 19.06.2014 | | Autor: | Moebius |
Vielen Dank noch für deine schnellen Antworten. Macht Zeilen- oder Spaltenvertauschung nicht noch alles schlimmer? Momentan steht ja immer das größte Element einer Zeile auf der Diagonale, was in Hinblick auf die numerische Stabilität und die gewünschte Diagonaldominanz schon ideal ist.
Außerdem ist, wie ich gerade sehe, die Matrix reduzible, schwache Diagonaldominaz würde hier also gar nicht reichen. Aber kann ich vielleicht mit der Zerlegbarkeit der Matrix weiterarbeiten und die Lösung in einzelne Blöcke aufteilen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Do 19.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Vielen Dank noch für deine schnellen Antworten. Macht
> Zeilen- oder Spaltenvertauschung nicht noch alles
> schlimmer? Momentan steht ja immer das größte Element
> einer Zeile auf der Diagonale, was in Hinblick auf die
> numerische Stabilität und die gewünschte Diagonaldominanz
> schon ideal ist.
> Außerdem ist, wie ich gerade sehe, die Matrix reduzible,
> schwache Diagonaldominaz würde hier also gar nicht
Es ging mir um die letzten zwei Spalten, aber ich bin der
Meinung, dass das auch nicht viel bringen wird.
> Aber kann ich vielleicht mit der Zerlegbarkeit der
> Matrix weiterarbeiten und die Lösung in einzelne Blöcke
> aufteilen?
Das kannst du probieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:24 Fr 20.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Man kann das GSV, unter gewissen Voraussetzungen, mit einer
Gewichtung [mm] $\omega\in(0,2)\$ [/mm] verbessern.
Sei [mm] A\in\IR^{n\times n} [/mm] nichtsingulär, [mm] b\in\IR^n [/mm] und seien [mm] L,D,R\in\IR^{n\times n}, [/mm] sodass
[mm] $A=L+D+R\$.
[/mm]
Dann erhalten wir direkt aus dem GSV das Verfahren
[mm] x_{k+1}=S_{\omega}x_k+B^{-1}b,
[/mm]
wobei
[mm] S_{\omega}:=(D+\omega*L)^{-1}[(1-\omega)D-\omega*R]
[/mm]
und
[mm] B:=\frac{1}{\omega}(D+\omega*L).
[/mm]
[mm] \bullet [/mm] Mit [mm] $\omega=1\$ [/mm] erhalten wir das GSV.
[mm] \bullet [/mm] Mit [mm] $\omega\in(1,2)$ [/mm] erhalten wir schnellere Konvergenz.
[mm] \bullet [/mm] Mit [mm] $\omega\in(0,1)$ [/mm] erhalten wir langsamere Konvergenz, aber auch
divergente Verfahren können damit konvergieren!
Man kann sogar das optimale [mm] \omega [/mm] durch die Eigenwerte berechnen
und darüber hinaus diesen verwenden um den Spektralradius zu
minimieren. Das zu beweisen ist nicht schwierig, aber benötigt
ein wenig Zeit, aber das ist nicht Sinn und Zweck eurer Aufga-
benstellung. Das Wichtige ist: Es funktioniert hier!
Wir erhalten zum Beispiel mit [mm] \omega:=0.8 [/mm] durch nur 4 Iterationen:
x =
1.6000
1.4933
1.6000
1.2800
x =
0.7538
0.7983
0.8960
0.9728
x =
1.0395
1.0052
1.0010
0.9953
x =
1.0075
1.0040
1.0039
1.0022
Insgesamt funktioniert es demnach sogar ziemlich gut.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 So 29.06.2014 | | Autor: | Moebius |
Super Danke für das Zahlenbeispiel, habe zwar keine Musterlösung zu der Aufgabe gekriegt, deine Antwort klingt für mich aber sehr gut  .
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