Ergibt Summe reelle Zahl < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
die Aufgabe ist: "Zeigen Sie, dass es zu jeder reellen Zahl x mit 0 < x < 1 eine Folge natürlicher Zahlen 1 < [mm] n_{1} [/mm] < [mm] n_{2} \ldots [/mm] gibt, so dass gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n_{k}} [/mm] = x.
Mein Lösungsansatz ist bisher, dass [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] = 1 ist, und von daher x immer eine Teilfolge sein muss. Kann mir da irgendwer weiterhelfen? Vielen Dank schonmal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Zunächst mal zu [mm] $\summe_{n=2}^\infty \bruch 1{n^2}$:
[/mm]
Es gilt [mm] $\summe_{n=1}^\infty \bruch 1{n^2}=\bruch {\pi^2}6$, [/mm] und somit [mm] $\summe_{n=2}^\infty \bruch 1{n^2}=\bruch{\pi^2}6-1$.
[/mm]
Versuch doch mal, die Folge schrittweise zu definieren:
Setze [mm] $n_1:=\min\left\{n\in\IN_{>1}: \bruch 1n\le x \right\}$.
[/mm]
Seien nun schon die ersten $k$ Folgenglieder konstruiert. Jetzt definiere
[mm] $n_{k+1}:=\min\left\{n\ge n_k: \bruch 1n\le x-\summe_{j=1}^k\bruch 1{n_j} \right\}$.
[/mm]
Um jetzt zu beweisen, dass [mm] $\summe_{k=1}^\infty \bruch 1{n_k}=x$ [/mm] benutze, dass stets [mm] $x-\summe_{j=1}^k\bruch 1{n_j} \le \bruch 1{n_{k}}$ [/mm] gilt. Diesen Tipp solltest du aber auch erstmal beweisen... Hast du dafür eine Idee?
Gruß, banachella
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 11:07 Fr 02.12.2005 | | Autor: | Leibniz |
Hallo!
Ich interessiere mich für die selbe Aufgabe, doch wüsste ich nicht, wie ich diesen Tip beweisen sollte,
geht das mit den b-adischen Zahlen oder doch ganz anders?
Für eine Antwort wär ich sehr dankbar!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:12 Sa 03.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Leibniz!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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