Erklärung Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
In meinen Vorbereitungen auf das Studium bin ich über die Konvergenz gestolpert. Einfache Grenzwerte zu berechnen ist nicht mein Problem, aber ich komme mit der notation noch nicht so richtig klar. Es wäre klasse, wenn jemand mir da ein wenig Licht ins Dunkel bringen könnte!
[mm] (a_{n}), n\in \IN [/mm] konvergent: [mm] \exists [/mm] a: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = a [mm] \gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N(\varepsilon) \in \IN [/mm] : [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n > [mm] N(\varepsilon)
[/mm]
Und da verließen sie ihn...
In Worten müsste es:
1) [mm] (a_{n}) [/mm] mit n als Element der Natürlichen Zahlen besitzt einen Grenzwert wenn gilt:
Es existiert a für das gilt der Grenzwert von [mm] a_{n} [/mm] für n gegen Unendlich ist a.
2) Dies gilt genau dann, wenn für alle [mm] \varepsilon [/mm] größer 0 folgendes existiert:
Für N [mm] (\varepsilon), [/mm] Element der Natürlichen Zahlen, gilt, dass der Betrag der Differenz von Wert der Folge und Grenzwert kleiner sind als [mm] \varepsilon [/mm] für alle n die Größer sind als N [mm] (\varepsilon).
[/mm]
Meine Fragen:
Ist es richtig ausformuliert?
Teil 1) ist mir klar, aber so richtig blicke ich durch Teil 2) nicht durch. Wie kommt man auf die Bedingung? Was ist N [mm] (\varepsilon)? [/mm] Ist [mm] \varepsilon [/mm] einfach eine Variable oder hat es was mit der [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung zu tun?
Aus den Antworten ergeben sich dann vielleicht die nächsten Fragen, aber man soll ja nicht zu viel auf einmal machen...
Oder habt ihr vielleicht ne nette Seite, auf der das Ganze verständlich erklärt ist?
Wikipedia und der Onlinevorkurs der Uni Heidelberg habens net ganz geschafft (http://www.thphys.uni-heidelberg.de/~hefft/vk1/ ->Folgen und Reihen -> Konvergenz)
DANKE DANKE DANKE!
|
|
| |
|
> [mm](a_{n}), n\in \IN[/mm] konvergent: [mm]\exists[/mm] a:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = a [mm]\gdw \forall \varepsilon[/mm]
> > 0 [mm]\exists N(\varepsilon) \in \IN[/mm] : [mm]|a_{n}[/mm] - a| <
> [mm]\varepsilon \forall[/mm] n > [mm]N(\varepsilon)[/mm]
>
> Und da verließen sie ihn...
> In Worten müsste es:
> 1) [mm](a_{n})[/mm] mit n als Element der Natürlichen Zahlen
> besitzt einen Grenzwert wenn gilt:
> Es existiert a für das gilt der Grenzwert von [mm]a_{n}[/mm] für n
> gegen Unendlich ist a.
> 2) Dies gilt genau dann, wenn für alle [mm]\varepsilon[/mm] größer
> 0 folgendes existiert:
> Für N [mm](\varepsilon),[/mm] Element der Natürlichen Zahlen, gilt,
> dass der Betrag der Differenz von Wert der Folge und
> Grenzwert kleiner sind als [mm]\varepsilon[/mm] für alle n die
> Größer sind als N [mm](\varepsilon).[/mm]
Hallo,
oben wird erklärt, was der Grenzwert einer Folge [mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] ist.
Kannst Du es Dir vorstellen, was es bedeutet, wenn eine Folge z.B. gegen 5 konvergiert? Die Folgenglieder rücken beliebig dicht an 5 heran.
Ich erzähle jetzt mal in meinen Worten, was dort geschrieben steht:
"Die Folge [mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] konvergiert gegen eine Zahl a, in Zeichen: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}" [/mm] bedeutet folgendes:
zu jeder (beliebig kleinen) Zahl [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es eine passende "Schwelle" N, so daß alle Folgenglieder ab dem N-ten dichter als [mm] \varepsilon [/mm] an dem Wert a dranliegen.
Wenn Du Dir mal in ein Koordinatensystem eine Folge einzeichnest, die gegen 5 konvergiert, z.B. [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n:= [/mm] 5 + [mm] (-1)^n*\bruch{1}{n}, [/mm] so findest Du z.B. für [mm] \varepsilon=\bruch{1}{4} [/mm] einen Schwellenwert [mm] N_{\bruch{1}{4}}, [/mm] ab welchem alle Folgenglieder dichter als [mm] \bruch{1}{4} [/mm] an der 5 liegen.
Ich kann das [mm] \varepsilon [/mm] aber auch kleiner wählen, z.B. [mm] \varepsilon=\bruch{1}{4711}, [/mm] und auch hier werde ich ein passendes [mm] N_{\bruch{1}{4711}} [/mm] finden.
Dieses [mm] N(\varepsilon) [/mm] bedeutet, daß der Schwellenwert vom jeweils gewählten [mm] \varepsilon [/mm] abhängig ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi.
Nehmen wir zum Beispiel die Folge [mm] \{a_{n}\} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}.
[/mm]
Offensichtlich gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = 0 = a
d.h.: [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon \gdw |a_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Nun wäht man sich als [mm] \varepsilon [/mm] -Umgebung zum Beispiel 0.01
Also: [mm] |a_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw \bruch{1}{N(\varepsilon)} [/mm] < 0.01
[mm] \gdw \bruch{1}{0.01} [/mm] < [mm] N(\varepsilon)
[/mm]
[mm] \gdw N(\varepsilon) [/mm] > 100
Man sieht leicht, dass das N von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt, denn es ändert sich je nach der Wahl der Umgebung.
Da nach der Definition gelten muss, dass n > [mm] N(\varepsilon), [/mm] heißt das, dass n [mm] \ge [/mm] 101 in diesem Beispiel gelten muss. D.h. für alle n [mm] \ge [/mm] 101 liegen die Werte der Folge in der gewählten [mm] \varepsilon [/mm] -Umgebung.
Ich hoffe, dass diese Erklärung ausreicht. Falls nicht, dann gibt's hier sicher ne Menge kompetenter Leute, die das besser erklären können, als ich :)
Gruß,
Ralf
|
|
|
|
