Ermitteln einer Gleichung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mo 11.02.2008 | | Autor: | SGAdler |
| Aufgabe | Eine Funktion [mm] f_{t} [/mm] ist gegeben durch [mm] f_{t}(x)=x³-2tx²+t²x [/mm] . Ihr Schaubild sei [mm] K_{t} [/mm] .
a)Alle Kurven [mm] K_{t} [/mm] haben einen Punkt A gemeinsam. Gib die Koordinaten von A an.
Ermittle die Gleichung der Kurve, auf der die Wendepunkte aller Kurven [mm] K_{t} [/mm] liegen.
b) Die Kurve [mm] K_{t}, [/mm] die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung [mm] x=\bruch{1}{3}t [/mm] schließen eine Fläche ein. Die Kurve C: y=4x³ teilt diese Fläche in zwei Teilflächen. Zeige, dass das Verhältnis der Inhalte der Teilfläche unabhängig von t ist. |
Zu a) Als gemeinsamen Punkt A habe ich (0|0). Allerdings weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll, wenns um die Ermittlung der Kurve geht. Bräuchte nur einen kleinen Denkanstoß. :)
Ebenso bei der b). Wie sollte ich da vorgehen?
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Hallo SGAdler!
Bestimme zunächst die Wendestellen wie gewohnt. In der Lösung für [mm] $x_w [/mm] \ = \ ...$ wird der Parameter $t_$ stecken.
Löse diese Gleichung nach $t \ = \ ...$ um und setze in die Funktionsgleichung ein.
Wie lauten denn Deine Wendestellen?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mo 11.02.2008 | | Autor: | SGAdler |
Als Wendestelle(n) habe ich [mm] (\bruch{2}{3}t|-\bruch{10}{27}t³) [/mm] herausbekommen, aber das kann nicht sein, denn dann würde sie im negativen liegen. Meine Zeichnung sagt aber, dass der Wendepunkt im positiven Bereich sein müsste.
Vielleicht entdeckt ja jemand meinen Fehler:
Meine Ableitungen:
f'(x) = 3x² - 4tx + t²
f''(x) = 6x - 4t
f'''(x) = 6
So, damit muss 6x - 4t = 0 sein, damit ich meinen WP kriege. Ich bekomme für x [mm] \bruch{4}{6}t [/mm] (also 2/3f) heraus. Wenn ich das in die erste Gleichung einsetze erhalte ich für meinen y-Wert [mm] -\bruch{10}{27}t³
[/mm]
Aber nun muss ich ja noch die Kurve finden, die durch alle Wendepunkte durchgeht ..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Mo 11.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x_t [/mm] ist richtig, [mm] y_t [/mm] falsch also einfach nochmal sorgfältig in die funktion einsetzen.
wenn due das hast, hast du [mm] x_t=2/3t, y_t=...t^3
[/mm]
du löst die erste Gleichung nach t auf, setzt sie in die zweite ein und hast den Zusammenhang zwischen [mm] x_t [/mm] und [mm] y_t, [/mm] also die gesuchte Kurve, auf deren Graph die Wdpkt. liegen.
Gruss leduart
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 16:51 Mo 11.02.2008 | | Autor: | SGAdler |
Danke!
Für den y-Wert habe ich jetzt [mm] \bruch{2}{27}t³ [/mm] rausbekommen und für die Gleichung der Kurve [mm]\bruch{1}{4}x³[/mm].
Müsste stimmen, oder?
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:00 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo SGAdler!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig ...
Gruß vom
Roadrunner
PS: bitte derartige Ergebnisse in Zukunft nicht als "Korrekturmitteilung" verfassen sondern besser als "Frage".
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Hallo SGAdler!
Bestimme zunächst die Schnittstellen der beiden gegebenen Funktionen und daraus die beiden entsprechenden Teilflächen.
Diese beiden Teilflächen [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] sind ins Verhältnis zu setzen; d.h. berechne den Quotienten [mm] $\bruch{A_1}{A_2}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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