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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Kater138 |
| Aufgabe | Bestimme "n".
[mm] \vektor{n \\ 8} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ 12} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie genau kann ich hier nach n auflösen ?
Wenn es heißt z.B. [mm] \vektor{n \\ 8} [/mm] = X(gegeben), dann ist es für mich kein Problem dies auszurechnen.
Wie mache ich das jedoch hier.
Ich würde sonst einfach wie folgt vorgehen :
[mm] \vektor{n \\ 8} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ 12}
[/mm]
[mm] \bruch{n!}{8!(n-8)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{12!(n-12)!}
[/mm]
[mm] \bruch{n * (n-1)*...(n-8)}{8! (n-8)!} [/mm] = hier wie links..
=> das müsste sich doch jetzt kürzen lassen, oder ?
aber wie bringe ich beide auf eine Seite ??
Ich habe es schon mit dem KGV versucht, aber das funktioniert auch nicht so wirklich ..
Ich weiß jedoch, dass das Ergebnis 20 sein muss..
Vielen Dank schonmal für die Hilfe :)
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Hallo,
> Bestimme "n".
> [mm]\vektor{n \\ 8}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ 12}[/mm]
> $ [mm] \bruch{n!}{8!(n-8)!} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n!}{12!(n-12)!} [/mm] $
> $ [mm] \bruch{n \cdot{} (n-1)\cdot{}...(n-8)}{8! (n-8)!} [/mm] $ = hier wie links..
Bei der letzten Umformung hast Du dich irgendwie vertan.
Schau nochmal drüber.
Allgemein gilt:
[mm] \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}.
[/mm]
Setze nun n=20, k=8 ein.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Kater138 |
Vielen Dank für die Hilfe aber ich habe doch noch eine Frage.
Wie genau komme ich denn darauf, dass n= 20 sein muss ? Im Lösungsheft steht nur n=20 und kein Rechenweg. Ich weiß auch, dass [mm] \vektor{n \\ k}=\vektor{n \\ n-k} [/mm] ist, aber inwiefern hilft mir das weiter ?
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Hallo,
> Vielen Dank für die Hilfe aber ich habe doch noch eine
> Frage.
> Wie genau komme ich denn darauf, dass n= 20 sein muss ? Im
> Lösungsheft steht nur n=20 und kein Rechenweg. Ich weiß
> auch, dass [mm]\vektor{n \\ k}=\vektor{n \\ n-k}[/mm] ist, aber
> inwiefern hilft mir das weiter ?
Du hast 'unten' die Zahlen 8 und 12 gegeben und in deiner Formel k und (n-k). Es gilt offenbar n=k+(n-k) und genauso rechnest Du n aus mit den Zahlen 8 und 12.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Kater138 |
Also steht da dann im Prinzip n= 8+(n-12), oder ?
Aber wenn ich das ausrechne, dann komme ich nicht auf n= 20..
Vielen Dank für die Hilfe, wirklich, ich stehe gerade total auf dem Schlauch :)
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Hallo Kater138,
> Also steht da dann im Prinzip n= 8+(n-12), oder ?
Nein.
Da der Binomialkoeffizient symmetrisch ist, steht hier
[mm]k=8, \ n-k=12[/mm]
oder
[mm]k=12, \ n-k=8[/mm]
> Aber wenn ich das ausrechne, dann komme ich nicht auf n=
> 20..
> Vielen Dank für die Hilfe, wirklich, ich stehe gerade
> total auf dem Schlauch :)
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Kater138 |
Danke, jetzt habe ich es verstanden :)
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Hallo,
gehe ich recht in der Annahme, dass du versuchen möchtest, diese Gleichung durch Umformungen zu lösen? Das Problem daran ist: dieser Versuch führt auf eine algebraische Gleichung 4. Ordnung:
[mm] \vektor{n \\ 8}=\vektor{n \\ 12} [/mm] <=>
[mm] \bruch{n!}{8!*(n-8)!}=\bruch{n!}{8!*(n-8} [/mm] <=>
[mm] \bruch{(n-8)!}{(n-12)!}=\bruch{12!}{8!}=11880 [/mm] (-> da werden Sie geholfen^^) <=>
(n-8)*(n-9)*(n-10)*(n-11)=11880
Siehst du den Schlamassel jetzt? 
Von daher: der von kamaleonti oben vorgeschlagen Weg über die Symmetrie des Binomialkoeffizienten ist hier der richtige und zielführende Ansatz!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Fr 01.06.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Diophant,
gelobt sei, wer nicht so schnell aufgibt.
> Von daher: der von kamaleonti oben vorgeschlagen Weg über
> die Symmetrie des Binomialkoeffizienten ist hier der
> richtige und zielführende Ansatz!
Vorab: dem stimme ich vollauf zu.
Wenn man aber nun [mm] \vektor{n\\k}=\vektor{n\\n-k} [/mm] gerade nicht parat hat, dann ist man noch längst nicht verloren:
> gehe ich recht in der Annahme, dass du versuchen möchtest,
> diese Gleichung durch Umformungen zu lösen? Das Problem
> daran ist: dieser Versuch führt auf eine algebraische
> Gleichung 4. Ordnung:
Klingt schrecklich, ist es aber nicht.
> [mm]\vektor{n \\
8}=\vektor{n \\
12}[/mm] <=>
>
> [mm]\bruch{n!}{8!*(n-8)!}=\bruch{n!}{8!*(n-8}[/mm] <=>
>
> [mm]\bruch{(n-8)!}{(n-12)!}=\bruch{12!}{8!}=11880[/mm] (-> da werden
> Sie geholfen^^) <=>
>
> (n-8)*(n-9)*(n-10)*(n-11)=11880
>
> Siehst du den Schlamassel jetzt?
Naja, noch nicht.
Wir suchen vier aufeinanderfolgende natürliche (!) Zahlen, deren Podukt 11880 ist. Es gibt zwei Wege, der erste ist sicherer, der zweite viel schneller, verlangt aber eine Probe.
1)
1880 ist schnell in Primfaktoren zu zerlegen, da die Zahl ja offensichtlich schon mal durch 5,8 und 9 teilbar ist.
[mm] 11880=2^3*3^2*5*33=2^3*3^3*5*11
[/mm]
Da [mm] 11^4=14641>11880>10000=10^4 [/mm] ist und wir den Primfaktor 11 unerbringen müssen, nehmen wir an, dass eine der vier Zahlen 11 ist. Nach oben kanns nicht viel weiter gehen, da die 13 nicht möglich ist, also sind mindestens die 10 und die 9 auch in der Viererreihe.
[mm] \bruch{11880}{9*10*11}=12 [/mm] und damit haben wir die vierte Zahl.
2) Einfacher ist es, von [mm] 10<\wurzel[4]{11880}<11 [/mm] auszugehen. Zwei der gesuchten Zahlen müssen nun größer als [mm] \wurzel[4]{11880} [/mm] sein, zwei kleiner, und da sie alle zusammenhängen, bleibt nur 9, 10, 11, 12.
Hier muss man aber noch die Probe machen, um zu sehen, ob 11880 überhaupt zu den Zahlen gehört, die so zerlegbar sind.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo reverend,
> Hallo Diophant,
>
> gelobt sei, wer nicht so schnell aufgibt.
das ist mir dann nachher auch gekommen, aber da war ich schon auf dem Weg in Sachen Wochenendeinkäufe.
> > Von daher: der von kamaleonti oben vorgeschlagen Weg über
> > die Symmetrie des Binomialkoeffizienten ist hier der
> > richtige und zielführende Ansatz!
>
> Vorab: dem stimme ich vollauf zu.
>
> Wenn man aber nun [mm]\vektor{n\\
k}=\vektor{n\\
n-k}[/mm] gerade
> nicht parat hat, dann ist man noch längst nicht verloren:
>
> > gehe ich recht in der Annahme, dass du versuchen möchtest,
> > diese Gleichung durch Umformungen zu lösen? Das Problem
> > daran ist: dieser Versuch führt auf eine algebraische
> > Gleichung 4. Ordnung:
>
> Klingt schrecklich, ist es aber nicht.
>
> > [mm]\vektor{n \\
8}=\vektor{n \\
12}[/mm] <=>
> >
> > [mm]\bruch{n!}{8!*(n-8)!}=\bruch{n!}{8!*(n-8}[/mm] <=>
> >
> > [mm]\bruch{(n-8)!}{(n-12)!}=\bruch{12!}{8!}=11880[/mm] (-> da werden
> > Sie geholfen^^) <=>
> >
> > (n-8)*(n-9)*(n-10)*(n-11)=11880
> >
> > Siehst du den Schlamassel jetzt?
>
> Naja, noch nicht.
> Wir suchen vier aufeinanderfolgende natürliche (!)
> Zahlen, deren Podukt 11880 ist. Es gibt zwei Wege, der
> erste ist sicherer, der zweite viel schneller, verlangt
> aber eine Probe.
>
> 1)
> 1880 ist schnell in Primfaktoren zu zerlegen, da die Zahl
> ja offensichtlich schon mal durch 5,8 und 9 teilbar ist.
> [mm]11880=2^3*3^2*5*33=2^3*3^3*5*11[/mm]
>
> Da [mm]11^4=14641>11880>10000=10^4[/mm] ist und wir den Primfaktor
> 11 unerbringen müssen, nehmen wir an, dass eine der vier
> Zahlen 11 ist. Nach oben kanns nicht viel weiter gehen, da
> die 13 nicht möglich ist, also sind mindestens die 10 und
> die 9 auch in der Viererreihe.
>
> [mm]\bruch{11880}{9*10*11}=12[/mm] und damit haben wir die vierte
> Zahl.
>
> 2) Einfacher ist es, von [mm]10<\wurzel[4]{11880}<11[/mm]
> auszugehen. Zwei der gesuchten Zahlen müssen nun größer
> als [mm]\wurzel[4]{11880}[/mm] sein, zwei kleiner, und da sie alle
> zusammenhängen, bleibt nur 9, 10, 11, 12.
>
> Hier muss man aber noch die Probe machen, um zu sehen, ob
> 11880 überhaupt zu den Zahlen gehört, die so zerlegbar
> sind.
Es geht sogar noch einfacher: wenn man die 11880 mal als das Produkt schreibt, aus dem man sie gewonnen hat, nämlich
11880=12*11*10*9
dann steht da
[mm](n-8)*(n-9)*(n-10)*(n-11)=12*11*10*9[/mm]
und daraus bekommt man sofort (bspw.) n-8=12.
Man sieht mal wieder: Identitäten mit Fakultäten und Binomialkoeffizienten stecken voller Überraschungen, und es gibt ja auch oft mehrere Beweise, wie bspw. die einschlägig bekannten für
[mm] \vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k+1}=\vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
Gruß, Diophant
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