Erste Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
f(x) = [mm] e^{-x^{-2}}
[/mm]
f'(0) = [mm] \limes_{x\rightarrow\00} \bruch{f(x)-f(0)}{x} [/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\00} \bruch{e^{-x^{-2}}}{x}
[/mm]
Der Tipp meines Assistenten war eine Substitution zu machen und zwar: y:= - [mm] x^{-2}
[/mm]
Wie funktioniert das?
Liebe Grüsse
|
|
| |
|
> Hallo zusammen
>
> Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Hallo,
ich habe eine grausige Entdeckung gemacht: Du gibst die Aufgabenstellung arg verküzt wieder!
>
> f(x) = [mm]e^{-x^{-2}}[/mm]
> f'(0) =
Das auszurechnen wird Dir nämlich kaum gelingen, da Deine Funktion bei x=0 ja überhaupt nicht definiert ist.
Was nun? Abdunkeln, Rabe auf die Schulter, Kristallkugel raus: ah! die Funktion soll in Wahrheit heißen
$ [mm] f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \quad f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} & x\not=0 \\ 0 & x=0 \end{cases} [/mm] $
> f'(0)= [mm]\limes_{x\rightarrow\00} \bruch{f(x)-f(0)}{x}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\00} \bruch{e^{-x^{-2}}}{x}[/mm]
> Der Tipp meines Assistenten war eine Substitution zu machen
> und zwar: y:= - [mm]x^{-2}[/mm]
Hm. Würde ich nicht machen.
Hattet Ihr die Regel von L'Hospital, und Kettenregel?
$ [mm] \lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}-0}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\frac{1}{x}}{e^{\frac{1}{x^2}}}\right) [/mm] $
und nun (wg. [mm] \infty/\infty [/mm] ) L'Hospital.
Vielleicht hat der Assistent sogar sowas ähnliches gemeint: daß Du Dir überlegen sollst, daß [mm] y=-x^2 [/mm] für [mm] x\to [/mm] 0 gegen [mm] -\infty [/mm] geht und [mm] e^y [/mm] entsprechend gegen 0, so daß Du einen GW vom Typ [mm] \bruch{0}{0} [/mm] hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela
Sorry dass ich nicht die ganze Aufgabe hereingestellt habe, irgendwie habe ich gedacht das würde reichen....sorry!
Also die Kettenregel hatten wir schon, aber den L'Hospital glaub ich noch nicht!
> [mm]\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}-0}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\frac{1}{x}}{e^{\frac{1}{x^2}}}\right)[/mm]
>
> und nun (wg. [mm]\infty/\infty[/mm] ) L'Hospital.
Also was muss ich jetzt genau machen?
Liebe Grüsse
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela
>
> Sorry dass ich nicht die ganze Aufgabe hereingestellt habe,
> irgendwie habe ich gedacht das würde reichen....sorry!
>
> Also die Kettenregel hatten wir schon, aber den L'Hospital
> glaub ich noch nicht!
>
> >
> [mm]\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}-0}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\frac{1}{x}}{e^{\frac{1}{x^2}}}\right)[/mm]
> >
> > und nun (wg. [mm]\infty/\infty[/mm] ) L'Hospital.
>
> Also was muss ich jetzt genau machen?
Hallo,
das geht so: überm und unterm großen Bruchstrich getrennt ableiten, und gucken, ob Du davon den lim berechnen kannst. Wenn ja, ist das Dein Grenzwert.
Bloß wenn die Regel nicht dran war, wirst Du sie nicht verwenden dürfen.
Ich hab' grad im Moment keine Zeit, mich weiter damit zu befassen, ich stell's mal auf halbbeantwortet.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela
Ich habe nun noch einmal in meinen Vorlesungsunterlagen nachgeschaut und wir hatten den L'Hospital wirklich noch nicht!!! Also brauche ich einen anderen Lösungsweg!???
Liebe Grüsse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Mi 04.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dann musst du wohl oder übel auf den  Differenzialquotient nutzen, also:
$ [mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] \limes_{h \to 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm] $
Hier dann also:
[mm] \limes_{h \to 0}\bruch{e^{(0+h)^{-2}}-0}{h}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
> Dann musst du wohl oder übel auf den
> Differenzialquotient nutzen, also:
>
> [mm]f'(x_0) = \limes_{h \to 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm]
>
> Hier dann also:
>
> [mm]\limes_{h \to 0}\bruch{e^{(0+h)^{-2}}-0}{h}[/mm]
Hallo Marius,
soweit war babybel aber doch schon beim Schreiben des 1. Beitrages...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Also die Kettenregel hatten wir schon, aber den L'Hospital
> glaub ich noch nicht!
>
> >
> [mm]\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}-0}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\frac{1}{x}}{e^{\frac{1}{x^2}}}\right)[/mm]
Hallo,
jetzt ist mir eingefallen, was Dein Tutor meint:
mit [mm] y:=\frac{1}{x^2} [/mm]
haben wir [mm] \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}=x*\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^2}=x*ye^{-y}=x*\bruch{y}{e^y}
[/mm]
Für alle [mm] x\not=0 [/mm] ist y>0.
Es ist für y>0 [mm] \qquad e^y=\summe\bruch{y^k}{k!}\ge [/mm] 1+ y,
also [mm] \bruch{1}{e^y}\le \bruch{1}{1+y}
[/mm]
==> [mm] \bruch{y}{e^y}\le \bruch{y}{1+y} =1-\bruch{1}{1+y} \le [/mm] 1
Und jetzt kommt's:
damit ist
[mm] \lim_{x\rightarrow 0}|\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}|= \lim_{x\rightarrow 0}|x*\bruch{y}{e^y} [/mm] | [mm] \le \lim_{x\rightarrow 0}|x|=0,
[/mm]
also der gesuchte Grenzwert =0.
Und wenn ich nun nicht vor Begeisterung einen Fehler gemacht habe, ist das wirklich viel schöner als das Draufkloppen mit l'Hospital.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hei Angela
Vielen vielen Dank! Das ist ja super!!!!
Aber was ich noch nicht ganz verstehe, ist dies bei dem Summenzeichen..?
Liebe Grüsse
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialreihe#Ungleichungen