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Forum "Statistik (Anwendungen)" - Erwartungstreue ML-Schätzer
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Erwartungstreue ML-Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Do 10.10.2013
Autor: freddatammi

Hallo,

In meinem Problem geht es um eine 2 parametrige Weibullverteilung mit der Dichtefunktion
f(\sigma)=\frac{m}{\sigma_\theta}\left(\frac{\sigma}{\sigma_\theta}\right)^{m-1}\textrm{exp}\left[-\left(\frac{\sigma}{\sigma_\theta}\right)^{m} \right] , wobei \sigma>0
und dem Erwartungswert:

\mathrm{E}(\sigma)=\sigma_\theta\Gamma(1+1/m)

Schätzwerte für die Parameter m und \sigma_\theta habe ich über die Maximum-Likelihood Methode bestimmt und erhalte damit für \hat m:

k\frac{\sum_{i=1}^k \sigma_i^{\hat m} \textrm{ln}\sigma_i}{\sum_{i=1}^k \sigma_i^{\hat m}}-\sum_{i=1}^k \textrm{ln}\sigma_i-\frac{k}{\hat m}=0

Diese Gleichung muss iterativ nach m aufgelöst werden und dann liefert einsetzen in

\hat\sigma_\theta=\left(\frac{\sum_{i=1}^k \sigma_i^{\hat m}}{k}\right)^{\frac{1}{\hat m}}

den Schätzwert für \hat \sigma_\theta.

Nun möchte ich gerne zeigen, dass diese Schätzer erwartungstreu sind. Das bereitet mir allerdings ziemliches Kopfzerbrechen. Statistik ist für mich noch absolutes Neuland..
Meine bisherige Idee:
Es soll gelten:
\mathrm{E}(\hat m)=m\newline
und
\mathrm{E}(\hat \sigma_\theta)=\sigma_\theta

Für \hat m habe ich  aber keine explizit nach \hat m aufgelöste Gleichung, deshalb sollte die Aussage doch äquivalent zu

\mathrm{E}(k\frac{\sum_{i=1}^k \sigma_i^{\hat m} \textrm{ln}\sigma_i}{\sum_{i=1}^k \sigma_i^{\hat m}}-\sum_{i=1}^k \textrm{ln}\sigma_i-\frac{k}{\hat m})=0
sein.(?)

Dann erhalte ich:
\mathrm{E}(k\frac{\sum_{i=1}^k \sigma_i^{\hat m} \textrm{ln}\sigma_i}{\sum_{i=1}^k \sigma_i^{\hat m}}-\sum_{i=1}^k \textrm{ln}\sigma_i-\frac{k}{\hat m})\\ \\ =\frac{k\cdot\mathrm{E}(\sum_{i=1}^k \sigma_i^{\hat m} \textrm{ln}\sigma_i)}{k\cdot m \cdot \mathr{E}(\sigma)}-k\cdot\mathrm{E}(\mathrm{ln}\sigma)-\frac{k}{m}\\ \\ =\frac{m\cdot\mathrm{E}(\sigma)\mathrm{E}(\mathrm{ln}\sigma^{\frac{1}{m}})}{m\mathrm{E}(\sigma}}-\mathrm{E}(\mathrm{ln} \sigma)-\frac{1}{m}\\ \\ =\frac{1}{m}\mathrm{E}(\mathrm{ln}\sigma)-\mathrm{E}(\mathrm{ln}\sigma)-\frac{1}{m}

und nun bin ich mir nicht sicher, ob die Umformungen bisher überhaupt stimmen.
Und falls ja, was nun? Gibts irgendwelche allgemeinen Rechenregeln für den Erwartungswert des Logarithmus?
Gilt denn, unter meiner Voraussetzung,\sigma>0,
\mathrm{E}(\mathrm{ln}\sigma)=\mathrm{ln}(\mathrm{E}(\sigma))?
Und was stelle ich dann mit dem Logarithmus einer Gammafuntkion an??

Zu \sigma_\theta :
\mathrm{E}(\hat \sigma_\theta)=\mathrm{E}(\left(\frac{\sum_{i=1}^k \sigma_i^{\hat m}}{k}\right)^{\frac{1}{\hat m}}) =\frac{k\cdot\frac{m}{m}\cdot \mathrm{E}(\sigma)}{k^\frac{1}{m}} =k^{1-\frac{1}{m}}\mathrm{E}(\sigma) =k^{1-\frac{1}{m}}\sigma_\theta\Gamma(1+1/m)
Damit \hat\sigma_\theta erwartungstreu ist, müsste ja nun nur \sigma_\theta übrig bleiben.
Dies ist zumindest der Fall, wenn ich m=1 setze.
Aber im allgemeinen stimmt es ja nicht mehr...


Ich bin für jeden Rat, Verbesserungsvorschlag, Denkanstoß sehr dankbar!

Liebe Grüße


(Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/)

        
Bezug
Erwartungstreue ML-Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 Mo 14.10.2013
Autor: luis52

Moin freddatammi,

[willkommenmr]

ML-Schaetzer sind nicht grundsaetzlich e.t. Erschwerend kommt hinzu, dass der Schaetzer hier mittels eines iterativen Verfahrens bestimmt wird und anscheinend keine geschlossene Form gefunden wird. Ich schlage vor, dass du einmal die einschlaegige Literatur konsultierst wie z.B. die Buecher von Johnson/Kotz oder google mal Weibull distribution  estimation.
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