Erwartungstreuer Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Aus dem Intervall [mm] [\theta-\bruch{1}{2},\theta+\bruch{1}{2}]\subseteq\IR [/mm] werden gleichverteilt Zahlen gezogen, insgesamt n-mal. Die Zufallsvariablen sind also [mm] X_{1},...,X_{n}. [/mm] Ist der Schätzer [mm] T=0,5(max(X_{1},...,X_{n})+min(X_{1},...,X_{n})) [/mm] erwartungstreu? |
Hallo,
also die Aufgabe ist mir klar. [mm] X_{i} [/mm] ist stetig gleichverteilt und gibt quasi die aus dem Intervall gezogene Zahl aus. Ich muss ja den Erwartungswert auswerten. Zunächst benutze ich mal die Linearität.
[mm] E(T)=E(0,5(max(X_{1},...,X_{n})+min(X_{1},...,X_{n}))=0,5*E(max(X_{1},...,X_{n}))+E(min(X_{1},...,X_{n}))
[/mm]
Das mit dem Maximum ist mir wegen der letzten Aufgabe auch klar. Da kann ich ja nun E sogar mit dem Integral berechnen, weil [mm] X_{i} [/mm] ja stetig verteilt ist. Mir ist nicht ganz klar, wie ich die Verteilung für das Minimum angebe. Suche ich dann [mm]P(Y\ge y)=1-P(Y\le y)[/mm]??
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mo 15.01.2007 | | Autor: | luis52 |
> Mir ist nicht
> ganz klar, wie ich die Verteilung für das Minimum angebe.
> Suche ich dann [mm]P(Y\ge y)=1-P(Y\le y)[/mm]??
>
Moin Daniel,
so einfach geht's leider nicht. Die Verteilungsfunktion des Minimums
[mm] $Z=\min\{X_1,...,X_n\}$ [/mm] ist [mm] $H(z)=1-(1-F(z))^n$, [/mm] wobei $F$ die
Verteilungsfunktion der Gleichverteilung im Intervall
[mm] $[\theta-\bruch{1}{2},\theta+\bruch{1}{2}]$ [/mm] ist. Wie kommt man darauf?
Da es schon spaet ist, hier nur ein Tipp:
[mm] $Z=\min\{X_1,...,X_n\}=-\max\{-X_1,...,-X_n\}$
[/mm]
hth
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