Erwartungsw. Normalverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:50 So 28.06.2015 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Es sei [mm] $Y\sim\mathcal{N}\left(0,1\right)$. [/mm] Berechnen Sie [mm] $E(X^2)$ [/mm] und [mm] $V(X^2)$ [/mm] ohne den Beweis von Satz 6.27 und Beispiel 6.30 zu verwenden.
[mm] \underline{\text{Satz 6.27}}: [/mm] Für eine$ [mm] \mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)$-verteilte [/mm] Zva. $X$ gilt:
[mm] $E(X)=\mu$ [/mm] und [mm] $V(X)=\sigma^2$
[/mm]
Der Beweis gilt über folgenden Ansatz:
[mm] $E(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty} te^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^{2}} [/mm] dt$
[mm] \underline{\text{Bsp 6.30}}: [/mm] Sei [mm] $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ [/mm] und [mm] $Y=X^2$. [/mm]
Dann gilt:
[mm] $E(Y)=E(X^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty} t^2e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^{2}} [/mm] dt$ |
Ich habe nun leider keinerlei Idee wie ich die Aufgabe bearbeiten soll.
Da Satz 6.27 wegfällt wäre meine einzige Idee gewesen über die Definition des Erwartungswertes zu gehen. Dies geht aber ebenfalls nicht, da dies im Beweis verwendet wird.
Wenn mir jemand mit einen Ansatz aushelfen könnte wäre das sehr nett.
Mit freundlichen Grüßen
Frosch
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Hallo,
Mal zum ersten Teil :
Nach dem Steiner'schen Verschiebungssatz gilt doch
$Var(X) = [mm] E(X^2) -E(X)^2$
[/mm]
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 So 28.06.2015 | | Autor: | Frosch20 |
> Hallo,
>
> Mal zum ersten Teil :
>
> Nach dem Steiner'schen Verschiebungssatz gilt doch
>
> [mm]Var(X) = E(X^2) -E(X)^2[/mm]
>
> Lg
Edit: Ich habe grade gemerkt das ich mich offensichtlich etwas verlesen habe. Das macht das ganze natürlich viel einfacher.
Vielen dank für die Hilfe.
Mfg. Frosch
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Mir fällt eine Sache auf - ist du schreibst Y folgt einer Normalverteilung und dann berechne : [mm] E(X^2) [/mm] etc..
Es sollte schon X ist NV(0,1) heißen ? oder ist X in irgendeiner Form, vermöge Y definiert ?
- falls ja so ist die Sache anders zu behandeln.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Di 30.06.2015 | | Autor: | Frosch20 |
> Mir fällt eine Sache auf - ist du schreibst Y folgt einer
> Normalverteilung und dann berechne : [mm]E(X^2)[/mm] etc..
> Es sollte schon X ist NV(0,1) heißen ? oder ist X in
> irgendeiner Form, vermöge Y definiert ?
>
> - falls ja so ist die Sache anders zu behandeln.
>
> Lg
Stimmt das ist mir garnicht aufgefallen. In der Übungsaufgabe steht aber tatsächlich "Es sei [mm] $Y\sim [/mm] N(0,1)$".
Zu berechnen ist aber [mm] $E(X^2)$ [/mm] und [mm] $V(X^2)$.
[/mm]
Eine Beziehung zwischen $X$ und $Y$ wird in der Aufgabe nicht gegeben.
Evtl. hat sich da aber auch ein Fehler in das Übungsblatt geschlichen.
Mfg. Der Frosch
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