Erwartungswer Stetige ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Do 04.11.2010 | | Autor: | su92 |
Hallo,
ich möchte die Herleitung der Erwartungswert für die Stetige Zufallsverteilung wissen:
Die Allg. Formel für den Erwaruntgswert ist:
$ [mm] E(X)=\integral_{-\infty}^\infty [/mm] xf(x) dx $
Dazu habe ich im Internet recherchiert, aber leider keine hilfreichende Informationen gefunden...x(
Ich hoffe ihr könnt mir die Herleitung erläutern, oder einige Seiten im Internet vorschlagen :))
Bedanke mich im voraus.
Schöne Grüße
Su92
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Do 04.11.2010 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> ich möchte die Herleitung der Erwartungswert für die
> Stetige Zufallsverteilung wissen:
es gibt keine Herleitung. So ist der Erwartungswert definiert.
Es gibt auch nicht "die" stetige Verteilung. Stetig sind alle Verteilungen von Zufallsvariablen, die auf einem Intervall definiert sind.
LG will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Do 04.11.2010 | | Autor: | su92 |
Hallo will,
>
> > ich möchte die Herleitung der Erwartungswert für die
> > Stetige Zufallsverteilung wissen:
> Es gibt auch nicht "die" stetige Verteilung. Stetig sind
> alle Verteilungen von Zufallsvariablen, die auf einem
> Intervall definiert sind.
Sorry, ich meinte den Erwartungswert für die Stetige Zufallsveriable
( ich hoffe, dass ich sie jetzt richtig aufgeschrieben hab! :S)
> es gibt keine Herleitung. So ist der Erwartungswert
> definiert.
Ja, aber meine Frage ist: Wie mann auf die Formel kommt??
Entschuldige wenn ich meine Frage nicht ausführlich formuliert habe... :))
>
> LG will
>
Danke für deine Antwort. ;))
Grüße Su92
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Guten Abend,
wie mein Vorredner schon sagte: Der Erwartungswert ist so definiert. Da gibt es keine Herleitung.
Ich kann versuchen dir plausibel zu erklären, dass diese Definition nützlich ist, so wie sie ist:
Betrachten wir einmal eine diskrete ZV [mm]X[/mm], die Werte [mm]x_1,x_2,...[/mm] annehme.
Dann ist [mm]EX = \summe_{k=1}^{\infty} x_k*P(X=x_k)[/mm]. Interpretation klar...
Sei nun [mm]Y[/mm] eine stetige ZV mit Werten in [mm]\IR[/mm]:
Im stetigen Fall ist ja aber bekannterweise [mm] P(X=x_0)=0.
[/mm]
Analog ist [mm] E(Y)=\integral_{-\infty}^\infty y*f(y) dy [/mm], wenn du es als Riemann-Summe siehst auch soetwas ähnliches, nur dass du - sehr schwammig formuliert - "überabzählbar viele Werte aufsummierst". $f(y)$ ist ja dann deine Dichte, die auch gewissermaßen die Wahrscheinlichkeit angibt dass $Y$ einen bestimmten Wert annimmt...
Ich hoffe das hilft ein wenig!
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Fr 05.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also so seh ich dass nicht, natürlich gibt es eine Herleitung, hier muss man aber etwas tiefer einsteigen.
Ganz allgemein ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen:
[mm]\int X dP[/mm]
was für einfache Funktionen der Form
[mm]f= \sum a_i 1_{A_i}[/mm]
also insbesondere diskrete ZV's zu
[mm]\sum a_i P(A_i)[/mm]
wird also zum wie im diskreten wohl bekannten Erwartungswert.
Dieser Integralbegriff wird dann auf messbare Funktionen erweitert.
Dass sich der Erwartungswert für Zufallsvariablen mit stetiger Dichte f(x) zu
[mm]\int xf(x)dx[/mm] ergibt, ist durch den Satz von Radon-Nikodym begründet. Dieser sagt im Prinzip:
Ist
[mm]\mu(A)=\int_A f(x)dx[/mm]
so ist
[mm]\int x d\mu = \int xf(x)dx[/mm]
gruß
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Guten Abend,
ich denke, jeder der Vorlesungen zur Maß- und Integraltheorie oder Stochastik 2 oder so gehört hat, wird beim Erwartungswert sofort an Lebesgue und co denken. Und dann ist der Erwartungswert einfach das Lebesgue-Integral.
Aber der Fragensteller hat ja im Profil stehen "11. Klasse Gesammtschule".
Da halte ich Maßtheorie und Radon-Nykodym ein wenig übertrieben ;).
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Fr 05.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
da hast du natürlich völlig recht. Aber trotzdem ist es dann nicht sinnvoll zu antworten dass es keine Herleitung gibt und der Erwartungswert einfach so definiert ist (als wäre es willkürlich), dass stimmt einfach nicht.
Grüße
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Ich kann dich gut verstehen, aber diese Forum ist ja hauptsächlich dazu da, um Probleme in mathematischen Fragen zu lösen. Und dann mit Maßtheorie zu argumentieren schafft meiner Meinung nach mehr Probleme, als es löst. In der Schule ist es denke ich legitim den Erwartungswert so als Definition zu akzeptieren. So wird es ja sogar in den meisten Stochastik 1 Vorlesungen an der Uni gemacht, wo einem auch Spielereien wie Lebesgue und co nicht zur Verfügung stehen! ;)
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Fr 05.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
wir wollen natürlich keinen verwirren. Ehrlich gesagt habe ich gar nicht auf den Background des Fragestellers geschaut und da wir uns im Forum: Mathematik > Hochschule > Stochastik befinden und nicht in einer der Unterabteilung Schule etc. hab ich gleich mal wild drauf losgelegt.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:30 Fr 05.11.2010 | | Autor: | su92 |
Hallo,
also ich bin jetzt ein wenig verwirrt, aber werde die Debatte morgen mit meiner Mathe Lehererin besprechen ;))
Danke mich jetzt schonmal für die Antworten :), und würde mich auf weitere freuen ^^ :))
Übrigens bin ich jetzt in der 13. Klasse und habe Mathe als Leistungskurs...
LG Su92
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:36 Fr 05.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
so jetzt bist du zurecht tatsächlich verwirrt, also es ist so man kann wohl herleiten warum der Erwartungswert sich so berechnet, dazu ist aber einiges an Wissen um Maß- und Integraltheorie nötig. Da du dass in der Schule nicht hast, musst Du dich mit der Definition zufrieden geben kannst dir aber salopp gesagt schon vorstellen das Summen im stetigen zu Integralen werden.
Viele Grüße
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