Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | | X sei stetig verteilt mit Dichte f(x) = 1, wenn 0 < x < 1 und f(x) = 0 sonst. Es Z=|X−0.5|.Berechnen Sie den Erwartungswerte zu Z. |
Hallo,
ich habe hier eine Rechenregel für Erwartungswerte angewandt:
Allg.: E(Z) = E(b+c X) = b + c E(X).
Aufg.: E(Z) = E(|X-0,5|) = -0,5 + E(X) =-0,5 + [mm] \integral_{0}^{1}{x * 1 dx} [/mm] = -0,5 + 1/2 * [mm] 1^2 [/mm] - [mm] 1/2*0^2 [/mm] = 0
In den Lösungen wurde das allerdings anders gerechnet und auch das Endergebnis ist ein anderes:
E(Z) = E(|X-0,5|) = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{|X-0,5| * 1 dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{|X-0,5| * 1 dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{0,5}{(-(X-0,5)) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0,5}^{1}{(X-0,5)dx} [/mm] = 0,25
Also ich verstehe zum einen nicht, wieso die Anwendung der Rechenregel zum falschen Ergebnis führt. Angenommen ich hätte die Rechenregel nicht angewandt und [mm] \integral_{0}^{1}{|X-0,5| * 1 dx} [/mm] gerechnet, wäre ich nach meiner Rechnung auf [mm] 1/2*1^2 [/mm] - 0,5*1 - 0 = 0 gekommen. Allerdings wird das ja noch irgendwie aufgeteilt und ich verstehe den Schritt [mm] \integral_{0}^{1}{|X-0,5| * 1 dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{0,5}{(-(X-0,5)) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0,5}^{1}{(X-0,5)dx} [/mm] nicht.
LG
Mathics
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Hiho,
deine Lösung ignoriert völlig den Betrag.
Wo ist der bei dir hin?
Da steht ja nicht [mm] E\left(X - 0,5\right) [/mm] sondern [mm] E\left(\left|X - 0,5\right|\right)
[/mm]
Daher kannst du deine Rechenregeln gar nicht anwenden.
Wie ist die Betragsfunktion denn definiert? Mache dir das klar, dann bist du der Lösung einen großen Schritt näher.
Gruß,
Gono.
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