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| Aufgabe | Es sei X eine nichtnegative Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert [mm] \mu [/mm] und endlicher Varianz [mm] \sigma^{2}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass für jedes b > 0 gilt
[mm] E[((X-\mu)b+\sigma)^{2}]=\sigma^{2}(1+b^{2}). [/mm] |
Moin!
Habe bis jetzt geschrieben
[mm] E[((X-\mu)b+\sigma^{2}]=E[((X-\mu)^{2}b^{2}+2\sigma*b(X-\mu)+\sigma^{2}]=E[(X-\mu)^{2}b^{2}]+E[2\sigma*b(X-\mu)+\sigma^{2}]
[/mm]
[mm] =b^{2}E[(X-\mu)^{2}]+E[2\sigma*b(X-\mu)+\sigma^{2}]=b^{2}\sigma^{2}+E[2*E[X-\mu]*b(X-\mu)+E[(X-\mu)^{2}]
[/mm]
[mm] =b^{2}\sigma^{2}+E[2*E[X-\mu]*b(X-\mu)]+E[E[(X-\mu)^{2}]]=b^{2}\sigma^{2}+2b*E[E[X-\mu]]*E[X-\mu]+E[E[(X-\mu)^{2}]]
[/mm]
Bin ich hier jetzt schon total auf dem falschen Dampfer?
Was wäre denn z.B. eigentlich [mm] E[E[X-\mu]]?
[/mm]
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Hiho,
> Bin ich hier jetzt schon total auf dem falschen Dampfer?
Ja, weil deine Umformungen falsch sind.
> Was wäre denn z.B. eigentlich [mm]E[E[X-\mu]]?[/mm]
da [mm] $E[X-\mu]$ [/mm] eine reelle Zahl ist (du kannst sogar angeben ,welche!), ist [mm] $E[E[X-\mu]] [/mm] = [mm] E[X-\mu]$.
[/mm]
Aber das brauchst du gar nicht und deine Umformungen dahin sind falsch.
Es gilt: [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \sqrt{\sigma^2} [/mm] = [mm] \sqrt{E[(X-\mu)^2]} \not= E[X-\mu]$
[/mm]
Du kannst die Wurzel nicht einfach in den Erwartungswert ziehen.
Brauchst du aber auch gar nicht.
Lass den überflüssigen Schritt weg und rechne weiter, wie du (richtig) angefangen hast mit der Linearität des Erwartungswert. Du musst da nix mehr substituieren.
Gruß,
Gono.
>
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Gut, dann von vorn:
[mm] E[((X-\mu)b+\sigma)^{2}]=E[(X-\mu)^{2}b^{2}+2(X-\mu)b\sigma+\sigma^{2}]
[/mm]
[mm] =b^{2}E[(X-\mu)^{2}]+E[2(X-\mu)b\sigma+\sigma^{2}]=b^{2}\sigma^{2}+2bE[(X-\mu)\sigma+\sigma^{2}]
[/mm]
Nur bleibe ich hier stecken, wie ich [mm] 2bE[(X-\mu)\sigma+\sigma^{2}] [/mm] weiter umformen kann...
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Hallo derriemann,
> Gut, dann von vorn:
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> [mm]E[((X-\mu)b+\sigma)^{2}]=E[(X-\mu)^{2}b^{2}+2(X-\mu)b\sigma+\sigma^{2}][/mm]
>
> [mm]=b^{2}E[(X-\mu)^{2}]+E[2(X-\mu)b\sigma+\sigma^{2}]=b^{2}\sigma^{2}+2bE[(X-\mu)\sigma+\sigma^{2}][/mm]
>
Hier muss doch zunächst stehen:
[mm]=b^{2}E[(X-\mu)^{2}]+E[2(X-\mu)b\sigma+\sigma^{2}]=b^{2}\sigma^{2}+2bE[(X-\mu)\sigma]+E\left[\sigma^{2}\right][/mm]
> Nur bleibe ich hier stecken, wie ich
> [mm]2bE[(X-\mu)\sigma+\sigma^{2}][/mm] weiter umformen kann...
Gruss
MathePower
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Hm, ok
[mm] b^{2}\sigma^{2}+2bE[(X-\mu)\sigma]+E[\sigma^{2}]=
[/mm]
[mm] b^{2}\sigma^{2}+2bE[(X-\mu)\sigma]+E[E[X^{2}]-E[X]^{2}] [/mm] =
[mm] b^{2}\sigma^{2}+2bE[(X-\mu)\sigma]+E[E[X^{2}]]-E[E[X]^{2}] [/mm] =
[mm] b^{2}\sigma^{2}+2bE[(X-\mu)\sigma]+E[X^{2}]-E[X]^{2} [/mm] =
[mm] b^{2}\sigma^{2}+2bE[(X-\mu)\sigma]+\sigma^{2}
[/mm]
Ja, irgendwie weiss ich ueberhaupt nicht weiter, wie man das umformen könnte
Steh seit mehreren tagen total aufm Schlauch...
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Hiho,
meine Güte... [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] sind doch Konstanten und der Erwartungswert ist linear: Ziehe also [mm] \sigma [/mm] aus dem Erwartungswert und dann zerlege die Differenz.
Gruß,
Gono.
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