Erwartungswert < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Di 23.10.2007 | | Autor: | Maikez |
| Aufgabe | In einer Urne liegen 3 Kugeln mit den Ziffern 1,2,3. Der Spieler darf 1 bis 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Er muss aber vor dem Ziehen der ersten Kugel festlegen, wie viele Kugeln er ziehen will. Für jede gezogene Kugel ist der Einsatz e zu zahlen . Ausgezahlt wird die Augensumme der gezogenen kugeln.
Zeigen Sie, dass es einen Einsaz e gibt, für den das Spiel fair ist, unabhängig davon, wieviele Kugeln der Spieler zieht.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi Leute,
ich habe diese Aufgabe versucht zu lösen, bin mir aber nicht sicher, ob sie stimmt. Es wäre wunderbar wenn jemand drübergucken könnte und mir, falls mein Ergebnis falsch ist, eine hilfestellung geben könnte.
Ich habe zuerst 3 Baumdiagramme gezeichnet ( für die Fälle 1x Ziehen, 2x .., 3x ...)
1x Ziehen: 6() x 1/3 - 3 x e = 0
2x Ziehen: 24() x 1/3 - 12 x e = 0
3x Ziehen: 36() + 1/3 - 18 x e = 0
Der Erwartungswert beträgt für alle 3 Möglichkeiten vereint (ka ob man das so machen kann), aber auch für jede Möglichkeit einzeln 2/3.
Vereint:
66() x 1/3 - 33 x e = 0
e = 2/3
Der Einsatz muss 66,6 Cent betragen, damit das Spiel fair ist, egal ob man 1, 2 oder 3 Kügeln zieht.
Ist die Aufgabe damit beantwortet?
Mit freundlichen Grüßen,
Maikez
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Di 23.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Maikez,
> In einer Urne liegen 3 Kugeln mit den Ziffern 1,2,3. Der
> Spieler darf 1 bis 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Er
> muss aber vor dem Ziehen der ersten Kugel festlegen, wie
> viele Kugeln er ziehen will. Für jede gezogene Kugel ist
> der Einsatz e zu zahlen . Ausgezahlt wird die Augensumme
> der gezogenen kugeln.
>
> Zeigen Sie, dass es einen Einsaz e gibt, für den das Spiel
> fair ist, unabhängig davon, wieviele Kugeln der Spieler
> zieht.
> Ich habe zuerst 3 Baumdiagramme gezeichnet ( für die Fälle
> 1x Ziehen, 2x .., 3x ...)
>
> 1x Ziehen: 6() x 1/3 - 3 x e = 0
> 2x Ziehen: 24() x 1/3 - 12 x e = 0
> 3x Ziehen: 36() + 1/3 - 18 x e = 0
wie kommst du denn auf diese Gleichungen?
Berechne doch erst einmal den Erwartungswert in allen 3 Varianten:
Für 1 x Ziehen:
P(1) = P(2) = P(3) = 1/3, also
E(Augensumme) = 1 * 1/3 + 2 * 1/3 + 3 * 1/3 = 2
Jetzt bis du dran für 2 x ziehen:
Möglichkeit Augensumme Wahrscheinlichkeit
12 3 1/3
.....
> Vereint:
> 66() x 1/3 - 33 x e = 0
> e = 2/3
> Der Einsatz muss 66,6 Cent betragen, damit das Spiel fair
> ist, egal ob man 1, 2 oder 3 Kügeln zieht.
> Ist die Aufgabe damit beantwortet?
Ich fürchte, nicht!
Probier das doch einfach mal in der Praxis aus, das ist ja das schöne bei der Stochastik: Man kann experimentieren.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Maikez |
Für den Fall, dass ich zweimal ziehe gibt es ja die möglichkeiten:
(1,2)(1,3)(2,1)(2,3) (3,1)(3,2)....
die Wahrscheinlichkeit für alle 6 Ereignisse beträgt 1/9......(1/3*1/3)
(3+4+3+5+4+5) * 1/9 = 8/3
Für den Fall, dass ich 3 mal ziehe beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis 1/27:
(6+6+6+6+6+6) * 1/27 = 4/3
Ich habe aber keine Ahnung, wie ich weitermachen soll :(
Gruß, Maikez
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Mi 24.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Maikez,
> Für den Fall, dass ich zweimal ziehe gibt es ja die
> möglichkeiten:
>
> (1,2)(1,3)(2,1)(2,3) (3,1)(3,2)....
>
> die Wahrscheinlichkeit für alle 6 Ereignisse beträgt
> 1/9......(1/3*1/3)
nicht ganz.
Überlege noch einmal: Beim ersten Ziehen hast du 3 Möglichkeiten.
Wie viele Möglichkeiten hast du beim 2. Ziehen?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dann im Baumdiagramm dementsprechend?
Also wie groß ist sie insgesamt? (Pfadregel)
> (3+4+3+5+4+5) * 1/9 = 8/3
> Für den Fall, dass ich 3 mal ziehe beträgt die
> Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis 1/27:
leider nicht, du machst den gleichen Fehler wie oben.
Es geht außerdem viel einfacher:
Wenn du 3 mal ziehst, dann hast du ganz sicher die Kugeln 1,2 und 3 gezogen,
also ist der Erwartungswert wie groß?
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:16 Mi 24.10.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Entweder ich habe die Aufgabe falsch verstanden, oder ...
Ohne lange rumzurechnen - wie es hier geschehen ist - würde ich sagen, dass der faire Einsatz e=2 ist.
Das liegt genau in der Mitte von 1,2,3.
> Der Spieler darf 1 bis 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen.
> Er muss aber vor dem Ziehen der ersten Kugel festlegen,
> wie viele Kugeln er ziehen will.
Bis auf das "ohne zurücklegen" sind die obigen Angaben für die Lösung ohne Wert.
= Ich hatte die Lösung für "mit zurücklegen" geschrieben.
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