Erwartungswert < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Amy1988 |
| Aufgabe | In einem Volleyballturnier treffen zwei gleich starke Mannschaften aufeinander.
Ein Match gilt als gewonnen, wenn eine Mannschaft drei Spiele zu ihren Gunsten
entscheidet.
Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der durchzuführenden Spiele. |
Hallo ihr Lieben!
Heute habe wir in der Schule mit den Ereigniswerten angefangen und wir sollen diese Aufgabe dazu lösen.
Anzuweden ist sicher auch hier die Formel
[mm] E(X)=x_{1}*P(X=x_{1}+...+x_
[/mm]
[mm] {n}*P(X=x_{n}
[/mm]
Als n würde ich die Anzähl der Sätze, also 3, wählen.
X kann ich nicht wirklich definieren.
Ich denke, das entscheident ist, dass die Chancen für beide Mannschaften 50% betragen.
Ich würde wahrscheinlich
3*bruch{5}{10}
rechnen, weiß aber nicht warum und noch weniger, ob es stimmt.
Kann mir das vielleicht jemand ein wenig deutlicher machen?
LG AMY
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Heute habe wir in der Schule mit den Ereigniswerten
> angefangen und wir sollen diese Aufgabe dazu lösen.
> Anzuweden ist sicher auch hier die Formel
Wenn Du damit
[mm]E(X)=x_{1}*P(X=x_{1}) + x_2*P(X=x_2)+...+x_n*P(X=x_n)[/mm]
meintest, dann hast Du recht =)
>
> Als n würde ich die Anzähl der Sätze, also 3, wählen.
Damit kämst Du (zufällig, denk ich) auf das richtige, aber ich glaube das ist Zufall.
Was willst Du denn?
Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der durchzuführenden Spiele.
Damit ist Dein X die Anzahl der durchzuführenden Spiele.
Wieviele Spiele muß man nun mindestens und wieviele höchstens durchführen, bis eine Mannschaft dreimal gewonnen hat? Die Werte sind Deine [mm] $x_1, x_2, x_3$
[/mm]
Jetzt mußt Du nur noch bestimmen, wie wahrscheinlich jede der drei Möglichkeiten ist.
> Ich denke, daß entscheidend ist, dass die Chancen für
> beide Mannschaften 50% betragen.
Ja, das brauchst Du für [mm] $P(X=x_1), \dots$, [/mm] sonst könntest Du den Erwartungswert nicht berechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Ersteinmal, entschuldige wegen der schlechtgeschriebenen Formel.
Ich hatte nichtmehr drübergeschaut, aber ich meinte die Formel, die du auch jetzt richtig aufgeschrieben hast. =)
Hm..also mir ist einigermaßne klar, dass
X=Anzahl der durchzuführenden Spiele
ist.
Und, dass ich mit [mm] x_{1} [/mm] und so weiter ausdrücke, wie viele Spiele gespielt werden - das wäre dann doch die gesuchte Größe, nicht wahr?
Oder drückt das aus, dass die Bedingung ist, dass die Mannschaft dreimal gewinnt?
Ich habe das noch nicht richtig verstanden und kann deshalb leider auch noch keinen richtigen Ansatz posten - sorry!!
Danke aber trotzdem schonmal für deine Mühe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Ersteinmal, entschuldige wegen der schlechtgeschriebenen
> Formel.
> Ich hatte nichtmehr drübergeschaut, aber ich meinte die
> Formel, die du auch jetzt richtig aufgeschrieben hast. =)
>
> Hm..also mir ist einigermaßne klar, dass
> X=Anzahl der durchzuführenden Spiele
> ist.
> Und, dass ich mit [mm]x_{1}[/mm] und so weiter ausdrücke, wie viele
> Spiele gespielt werden - das wäre dann doch die gesuchte
> Größe, nicht wahr?
Die gesuchte Größe ist der Erwartungswert.
X ist die zufällige Anzahl, wieviele Spiele gespielt werden, bis eine Seite ihre drei gewonnen hat.
[mm] $x_1=3, x_2=4, x_3=5$ [/mm] sind die drei Werte, die X annehmen kann, weil mindestens drei und höchstens 5 gespielt werden.
Der Erwartungswert ist dann
3*P(man braucht 3 Spiele)+4*P(man braucht 4 Spiele)+5*P(man braucht 5 Spiele).
> Oder drückt das aus, dass die Bedingung ist, dass die
> Mannschaft dreimal gewinnt?
Nein, das ist Teil von X.
X="Anzahl der Spiele, die gespielt wurden, bis eine Seite drei Siege hatte",
das mußt Du in die Berechnung von P(X=5),... einfließen lassen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Okay, das ist soweit klar, denke ich.
Nur eine Frage stellt sich mir noch...wieso dürfen es denn maximal 5 Spiele sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Okay, das ist soweit klar, denke ich.
> Nur eine Frage stellt sich mir noch...wieso dürfen es denn
> maximal 5 Spiele sein?
Die Frage gebe ich zurück =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Oh..ich vermute...ich habe eine sehr blöde Frage gestellt...
Wenn es 2:2 steht und das ist ja das höchste (Spielzahlmäßig), was passieren kann, dann entscheidet das dritte Spiel *an den Kopf fass*
Tut mir Leid =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Oh..ich vermute...ich habe eine sehr blöde Frage
> gestellt...
> Wenn es 2:2 steht und das ist ja das höchste
> (Spielzahlmäßig), was passieren kann, dann entscheidet das
> dritte Spiel *an den Kopf fass*
=)
Was Dir jetzt noch fehlt sind die Wahrscheinlichkeiten. Das ist im Prinzip wie Münzwürfe.
Das einzige wo Du aufpassen mußt ist, daß ja nur 4 Spiele gespielt werden, wenn nach 3 kein Sieger feststand. D.h. es kann nicht Team A die ersten 3 gewinnen und Team B dann das 4. Ähnlich für 5 Spiele.
|
|
|
| |
|
> In einem Volleyballturnier treffen zwei gleich starke
> Mannschaften aufeinander.
> Ein Match gilt als gewonnen, wenn eine Mannschaft drei
> Spiele zu ihren Gunsten
> entscheidet.
> Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der
> durchzuführenden Spiele.
> Hallo ihr Lieben!
Hallo,
irgendwie habe ich das Gefühl, dass ihr der Lösung nicht wirklich näher kommt...
Also: Grundsätzlich stimmt die Formel natürlich.
E(X)=P("3 Sätze")*3 + P("4 Sätze")*4 + P("5 Sätze")*5
Also: wie P("3 Sätze"), P("4 Sätze") und P("5 Sätze") finden?
2 Möglichkeiten:
a) Mithilfe eines Ereignisbaums
b) Mithilfe kombinatorischer Überlegung
Ich schlage vor, Variante a) zu nehmen.
Ich kann jetzt den Baum hier nicht hinzeichnen, spiele es bitte auf einem DIN A4-Blatt durch. Du erhältst
2 Äste, bei denen das Turnier nach 3 Spielen endet,
6 Äste, bei denen das Turnier nach 4 Spielen endet und
12 Äste, bei denen das Turnier nach 5 Spielen endet.
Denke dabei immer dran: nach drei Siegen einer Mannschaft endet der Ast.
Nun musst du noch die Wahrscheinlichkeit für jeden Ast angeben.
Das ist hier zum Glück nicht so schlimm, denn die W. für einen Sieg von A oder ist jeweils 0,5. Heißt:
Ein 3er-Ast hat die W. [mm] 0,5^3 [/mm] = 1/8
Ein 4er-Ast hat die W. [mm] 0,5^4 [/mm] = 1/16
Ein 5er-Ast hat die W. [mm] 0,5^5 [/mm] = 1/32
Nun musst du die Wahrscheinlichkeit für
alle 3er Äste addieren: zusammen 1/4
alle 4er Äste addieren: zusammen 3/8
alle 5er Äste addieren: zusammen 3/8
also
P("3 Sätze") = 1/4
P("4 Sätze") = 3/8
P("5 Sätze") = 3/8
Und in die Formel einsetzen:
E(X)=P("3 Sätze")*3 + P("4 Sätze")*4 + P("5 Sätze")*5
=1/4 * 3 + 3/8 * 4 + 3/8 *5
= 33/8
= 4 1/8
=4,125
Grüße.
|
|
|
|
