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Forum "Uni-Stochastik" - Erwartungswert
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Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Do 10.09.2009
Autor: vivo

Hallo,

sei [mm]X [/mm] Standartnormalverteilt, dann

[mm]E(X^{2n})=\bruch{(2n)!}{2^{n}n!}[/mm]

dies wird wortlos in einem Beweis verwendet den ich ansosnten verstehe, hat jemand ne Ahnung wie man dies einsehen könnte? Oder muss ich versuchen dass Integral:

[mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\int x^{2n}e^{\bruch{-x^2}{2}}dx[/mm]

aber wie ?

danke für eure hilfe

gruß

        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 Do 10.09.2009
Autor: generation...x

Das ist das 2n-te []Moment.

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:21 Fr 11.09.2009
Autor: vivo

Hallo,

ja danke, ist mir dann auch noch aufgefallen, dass ich über die Mommenterzeugendefunktion gehen könnte, nur leider sehe ich kein Muster in den Ableitungen, wahrscheinlich muss ich die Reihendarstellung der Exponentialfunktion ableiten um das Ergebnis zu bekommen ?!

gruß

Bezug
        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Fr 11.09.2009
Autor: luis52


> Hallo,
>  
> sei [mm]X[/mm] Standartnormalverteilt, dann
>  
> [mm]E(X^{2n})=\bruch{(2n)!}{2^{n}n!}[/mm]
>  
> dies wird wortlos in einem Beweis verwendet den ich
> ansosnten verstehe, hat jemand ne Ahnung wie man dies
> einsehen könnte? Oder muss ich versuchen dass Integral:
>  
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\int x^{2n}e^{\bruch{-x^2}{2}}dx[/mm]
>  
> aber wie ?


Moin vivo,

setze [mm] $u=x^2/2$ [/mm] in

$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} x^{2n}e^{\bruch{-x^2}{2}}dx=\bruch{2}{\wurzel{2\pi}}\int_{0}^{+\infty} x^{2n}e^{\bruch{-x^2}{2}}dx\,.$ [/mm]

Der Rest sieht verdaechtig nach Gamma-Funktion aus.


vg Luis    

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Do 17.09.2009
Autor: vivo

Hallo Luis,

danke für deine Antwort, leider stell ich mich schon wieder unglaublich an, glaub ich ...

aber ich schaff es trotz deines tips nicht ich hab im exponennten ein n-1/2 statt ein n-1

vielleicht kannst du mir da nochmal helfen, wäre super !

gruß

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Do 17.09.2009
Autor: luis52


> Hallo Luis,
>
> danke für deine Antwort, leider stell ich mich schon
> wieder unglaublich an, glaub ich ...
>  
> aber ich schaff es trotz deines tips nicht ich hab im
> exponennten ein n-1/2 statt ein n-1

>
$n-1/2=(n+1/2)-1$ ... ;-)

vg Luis

Bezug
                                
Bezug
Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Do 17.09.2009
Autor: vivo

ich sag ja ich stell mich an ...

dann:

[mm]\bruch{2}{\wurzel{2\pi}}\int (2u)^{(n+0,5)-1}e^{-u}du=\bruch{2^{n+0,5}}{\wurzel{2\pi}}\int (u)^{(n+0,5)-1}e^{-u}du= \bruch{2^{n}}{\wurzel{\pi}} \Gamma{(n+0,5)}[/mm]

soweit so gut ... und jetzt ? vielen dank!

gruß

Bezug
                                        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 Do 17.09.2009
Autor: luis52

>
>  
> soweit so gut ... und jetzt ? vielen dank!


[]Hier (58)

vg Luis

PS: Es gilt uebrigens


$ [mm] E(X^{2n})=\bruch{(2n)!}{2^{n}n!} =1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)$, [/mm] was man mit vollst. Induktion beweisen kann.

Bezug
                                                
Bezug
Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:50 Do 17.09.2009
Autor: vivo

Vielen Dank!

gruß

Bezug
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