Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Mo 23.11.2009 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | (i) X sei eine Zufallsvariable mit Werten in [mm] $\IN_0$ [/mm] und [mm] $\mathbb{E} [/mm] |X| < [mm] \infty$. [/mm] Zeigen Sie: [mm]\mathbb{E} X = \summe_{n=1}^{\infty} \IP(X \ge n)[/mm].
(ii) X sei eine reelle Zufallsgröße mit existierendem Erwartungswert. Zeigen Sie: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \IP(|X| \ge n) \le \mathbb{E} |X| \le \summe_{n=0}^{\infty} \IP(|X| \ge n)[/mm] |
Guten Morgen!
Ich komme einfach nicht bei den Aufgaben weiter...:( Ich hab keine Ahnung, was das [mm] $\IP(X \ge [/mm] n)$ bedeuten soll! :(
Außerdemm fehlt mir ne Formel für [mm] $\mathbb{E} [/mm] X$...
Kann mir vlt jemand helfen?? Wäre echt super!
Ich denke, wenn ich (i) habe, dann ist (ii) relativ einfach, oder?
Da muss man ja "nur noch" zeigen, dass [mm]0 \le \mathbb{E} |X| \le \IP(|X| \ge 0)[/mm], weil ja [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \IP(|X| \ge n) \le \summe_{n=1}^{\infty} \IP(|X| \ge n) + \IP(|X| \le 0) \Rightarrow 0 \le \IP(|X| \le 0)[/mm] .
Oder sehe ich das falsch??
Vielen Dank schon mal im Voraus!
Gruß, Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Mo 23.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Julia,
da schau her.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 Mo 23.11.2009 | | Autor: | wolle238 |
Super danke!
Damit gings ganz leicht! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mo 23.11.2009 | | Autor: | wolle238 |
Ähm, noch ne Frage: das macht keinen Unterschied, ob ich jetzt $X [mm] \in \IR$ [/mm] oder $X [mm] \in \IN_0$ [/mm] habe??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mo 23.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Ähm, noch ne Frage: das macht keinen Unterschied, ob ich
> jetzt [mm]X \in \IR[/mm] oder [mm]X \in \IN_0[/mm] habe??
Doch, sonst macht das Bilden der Summe Schwierigkeiten.
vg Luis
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Dann hänge ich jetzt an (ii).
Bisher habe ich:
Es gilt:
[mm] \begin{matrix}
& \summe_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(|X| \geq n) & \leq & \summe_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(|X| \geq n) \\
\Leftrightarrow & 0 & \leq & \mathbb{P}( |X| \geq 0) \\
\Leftrightarrow & 0 & \leq & \summe_{n = 0}^{\infty} \mathbb{P}(|X| = n)
\end{matrix} [/mm]
Da die Wahrscheinlichkeit immer größer gleich 0 ist, gilt $0 [mm] \leq \summe_{n = 0}^{\infty} \mathbb{P}(|X| \geq [/mm] n)$.
Nun muss noch [mm] $\mathbb{P}( [/mm] |X| [mm] \geq [/mm] 0) [mm] \geq \mathbb{E} [/mm] |X| [mm] \geq [/mm] 0$ gelten. Da für den Erwartungswert [mm] $\mathbb{E}$ [/mm] gilt:
[mm] \mathbb{E} |X| = \summe_{n=1}^{\infty} n \cdot \mathbb{P}(X = n) [/mm]
und die Wahrscheinlichkeiten immer größer gleich 0 sind, ist der Erwartungswert auch größer gleich 0.
Wie zeige ich denn dann, dass [mm] $\mathbb{E} [/mm] |X| [mm] \leq \mathbb{P}(|X| \geq [/mm] 0)$?
Dann folgt bei mir:
[mm] \mathbb{E} |X| = \summe_{n=1}^{\infty} n \cdot \mathbb{P}(|X| = n) \leq \summe_{n=1}^{\infty} \mathbb{P} (|X| = n) = \mathbb{P}(|X| \geq 0)[/mm]
und das wäre ja offensichtlich falsch....:(
Irgendwo habe ich noch einen dicken (Denk)Fehler und (i) wende ich auch nirgends an....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Mo 23.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
wie ist die Aufgabenstellung genau?
Zeigen Sie: $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \IP(|X| \ge [/mm] n) [mm] \le \mathbb{E} |X|\le \summe_{n=0}^{\infty} \IP(|X| \ge [/mm] n) $
(Erwartungswert von $|X|_$) oder
Zeigen Sie: $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \IP(|X| \ge [/mm] n) [mm] \le \mathbb{E} [/mm] [X] [mm] \le \summe_{n=0}^{\infty} \IP(|X| \ge [/mm] n) $
(Erwartungswert von $X_$) ?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Mo 23.11.2009 | | Autor: | wolle238 |
Aufgabenstellung:
$X$ sei eine reelle Zufallsgröße mit existierendem Erwartungswert. Zeigen Sie:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \IP(|X| \ge [/mm] n) [mm] \le \mathbb{E} |X|\le \summe_{n=0}^{\infty} \IP(|X| \ge [/mm] n) $
(Also Erwartungswert von $|X|$, wenn ich das richtig verstehe).
Im Anhang ist noch der genaue Aufgabenzettel... Es handelt sich um Aufgabe 23...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 25.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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