Erwartungswert < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Louis |
Wie berechnet man einen Erwartungswert?
Ich weiß es gilt [mm] E(x)=\summe_{i=1}^{n}x_i P(X=x_i)
[/mm]
Wenn man einen Würfel nmal würfelt und sich für X = größte der geworfenen Augenzahlen interessiert.
ich soll [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}E(x)=6 [/mm] berechnen, dazu brauche ich doch aber den Erwartungswert, der berechnet werden muss, richtig?
Wie sieht er aus und wie berechnet man dann den lim?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Mi 16.12.2009 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Zunächst einmal musst du die Wahrscheinlichkeitsverteilung definieren.
P(X=1) ist bei
n=1: [mm] \frac{1}{6}
[/mm]
n=2: [mm] \frac{1}{6}*\frac{1}{6}
[/mm]
...
allgemein also [mm] \frac{1}{6^n}
[/mm]
P(X=6) hingegen ist für
n=1: [mm] \frac{1}{6}
[/mm]
n=2: [mm] \frac{1}{6}+\frac{5}{6}\frac{1}{6}
[/mm]
...
allgemein
[mm] \frac{1}{6}\summe_{i=0}^{n}(\frac{5}{6})^i
[/mm]
Das geschulte Auge sieht, dass das zweite natürlich eine geometrische Reihe ist ^^. Das kannst du jetzt mit einem Bruch ausdrücken und schaust einfach mal was da für ein Grenzwert rauskommt.
Der Grenzwert müsste eigentlich 1 sein und somit wäre klar, dass für X=1,...,5 die Wahrscheinlichkeiten 0 sein müssen und das ganze damit Grenzwert 6 hat.
Bin mir zwar nicht sicher ob das klappt, aber so würde ich zunächst rangehen. Habt ihr in eurer Vorlesung sonst noch irgendeine andere Formel für den Erwartungswert? Vielleicht wie man den bei Wahrscheinlichkeitsfunktionen berechnet? Wenn es mit meiner Variante nicht geht, dann schau bitte nochmal nach.
Schönen Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Louis |
Hm, ich habe aber für P(X=6)= 1 - [mm] (\bruch{5}{6})^{n} [/mm] raus...
Jetzt bin ich verwirrt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Mi 16.12.2009 | | Autor: | max3000 |
Da hast du es doch schon.
Für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] geht das ganze gegen 1 und da die Wahrscheinlichkeit P die Eigenschaft hat
[mm] \bigcup_{i}P(X=x_i)=1
[/mm]
muss ja für i=1,...,5 gelten, dass [mm] P(X=x_i)=0 [/mm] ist.
Damit ist zu 100% sicher, dass bei unendlich vielen Würfen eine 6 dabei ist.
Also wird der Erwartungswert 6, wenn du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten in die Formel für den Erwartungswert einsetzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:46 Do 17.12.2009 | | Autor: | Louis |
Hm, und was ist der erwartungswert?
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Hallo,
den Erwartungswert hast du doch schon in deiner ersten Nachricht aufgeschrieben.
[mm] E(X)=\summe_{i=1}^nx_i*P(X=x_i)
[/mm]
Wenn du dir noch die Wahrscheinlichkeiten für X=1..5 ausrechnest, kannst du diese Summe bilden.
Viel Erfolg,
Roland.
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> Hm, und was ist der erwartungswert?
Hallo Louis,
ich glaub' ich verstehe dein Problem. Nach den
bisherigen Beiträgen hast du zwar eine Begründung
dafür, dass
[mm] \limes_{n\to\infty}E_n(X)
[/mm]
gleich 6 sein muss (das kann man auch ohne Rechnung
"vom Schiff aus" sehen ...), aber immer noch nicht
eine konkrete Formel für [mm] E_n(X) [/mm] für ein vorgegebenes n.
Um eine solche aufzustellen, muss man die (diskrete) Wahr-
scheinlichkeitsverteilung von X betrachten. Betrachten
wir also eine Serie von n Würfen. Die Anzahl m der
möglichen Wurfserien ist [mm] m=6^n [/mm] . Natürlich ist X=1
nur bei der einzigen Wurfserie (1,1,....,1), also ist
[mm] g_1=1 [/mm] und [mm] P(X=1)=\frac{g_1}{m}=\frac{1}{6^n}.
[/mm]
X=2 kommt genau dann zustande, wenn die Wurfserie
nur aus Einern und Zweiern besteht, jedoch nicht aus
lauter Einern. Also ist
[mm] g_2=2^n-1=2^n-1^n [/mm] und [mm] P(X=2)=\frac{g_2}{m}=\frac{2^n-1^n}{6^n}
[/mm]
Dies geht so weiter:
[mm] g_k=k^n-(k-1)^n [/mm] und [mm] P(X=k)=\frac{g_k}{m}=\frac{k^n-(k-1)^n}{6^n}
[/mm]
Dies kannst du in die Formel zur Berechnung des Er-
wartungswertes einsetzen und das Ergebnis zusam-
menfassen. Ich habe erhalten:
$\ [mm] E_n(X)=6-\frac{1}{6^n}\left[1+2^n+3^n+4^n+5^n\right]$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Do 17.12.2009 | | Autor: | Louis |
Bingo! Jetzt habe ich es verstanden! Genau das war mein Problem, Al-Chw. Vielen lieben Dank!
Ich danke euch allen! Super!
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