Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mo 01.02.2010 | | Autor: | pojo |
| Aufgabe | | Eine Urne enthalte 4 rote und 5 schwarze Kugeln. Es werden 4 Kugeln ohne zurücklegen nacheinander entnommen. Sei X die Anzahl der erhaltenen verschiedenen Farben. Berechne den Erwartungswert von X. |
Bei den Urnenaufgaben habe ich bisher zwar Wahrscheinlichkeiten berechnet, wie oft eine Kugel (mindestens/genau/höchstens) k-mal gezogen wird, aber jetzt hake ich schon bei der vermutlich einfachen Berechnung des Erwartungswertes.
Vielleicht verstehe ich die Aufgabe auch einfach nicht. X ist die Anzahl der verschiedenen Farben, also kann X max. 2 werden (für den Fall, dass zB. 3 rote und 1 schwarze Kugel gezogen worden sind = 2 unterschiedliche Farben).
Doch wie rechne ich nun den Erwartungswert aus? Würde mich freuen, wenn mir die Aufgabe jemand erklärend lösen könnte.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Mo 01.02.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Eine Urne enthalte 4 rote und 5 schwarze Kugeln. Es werden
> 4 Kugeln ohne zurücklegen nacheinander entnommen. Sei X
> die Anzahl der erhaltenen verschiedenen Farben. Berechne
> den Erwartungswert von X.
> Bei den Urnenaufgaben habe ich bisher zwar
> Wahrscheinlichkeiten berechnet, wie oft eine Kugel
> (mindestens/genau/höchstens) k-mal gezogen wird, aber
> jetzt hake ich schon bei der vermutlich einfachen
> Berechnung des Erwartungswertes.
> Vielleicht verstehe ich die Aufgabe auch einfach nicht. X
> ist die Anzahl der verschiedenen Farben, also kann X max. 2
> werden (für den Fall, dass zB. 3 rote und 1 schwarze Kugel
> gezogen worden sind = 2 unterschiedliche Farben).
... und mindestens 1, eine Farbe haste immer.
> Doch wie rechne ich nun den Erwartungswert aus? Würde mich
> freuen, wenn mir die Aufgabe jemand erklärend lösen
> könnte.
Wie groß ist jetzt die W. für 2 Farben? Wenn dir nichts Besseres einfällt, kannst du dir das mit einem Baumdiagramm zurechtlegen. Das ist 4stufig mit 2 Möglichkeiten bei jedem Schritt, also 16 Möglichkeiten am Ende, d. h. durchaus überschaubar. Von diesen 16 Möglichkeiten haben 2 genau 1 Farbe und dann natürlich 14 2 Farben. Die W. für eine Farbe sind vllt. auch ohne Bild auszurechnen, für Rot z. B. (4/9)*(3/8)*(2/7)*(1/6), für Schwarz entsprechend. Die Summe ist dann die W. für X = 1. Die W. für X = 2 muß die Gegenwahrscheinlichkeit sein. Den Rest solltest du hinkriegen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mo 01.02.2010 | | Autor: | pojo |
Ich habe keine Lösungen, deswegen weiß ich nicht ob ichs richtig gemacht habe.
Meine Überlegungen waren (und ich sehe ein bisschen Übereinstimmung find ich zu deinen Hinweisen, aber ich glaube am Ende passt es nicht):
Die W., dass zB. alle rot sind, ist 4/9 * 3/8 * 2/7 * 1/6 = P(A1)
Die W., dass alle schwarz sind 5/9 * 4/8 * 3/7 * 2/6 = P(A2)
Dann habe ich für den Erwartungswert die Gegenereignisse, also (1-P(A1)) + (1-(P(A2)) addiert. Da kam dann etwa 1.97 oder so raus und das deckte sich mit meiner groben Einschätzung, aber ist das richtig oder war der letzte Schritt quatsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mo 01.02.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag
X nimmt (nur) die Werte 1 und 2 an.
$E(X)=1*P(X=1)+2*P(X=2)$
und wenn $X=1$ dann ist [mm] $X\not=2$ [/mm] und umgekehrt.
Damit wird
$E(X)=1*P(X=1)+2*(1-P(X=1))=2-P(X=1)\ [mm] \ge\ [/mm] 1$.
Schönen Gruß
Karsten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Mo 01.02.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Meine Überlegungen waren (und ich sehe ein bisschen
> Übereinstimmung find ich zu deinen Hinweisen, aber ich
> glaube am Ende passt es nicht):
>
> Die W., dass zB. alle rot sind, ist 4/9 * 3/8 * 2/7 * 1/6 =
> P(A1)
> Die W., dass alle schwarz sind 5/9 * 4/8 * 3/7 * 2/6 =
> P(A2)
>
> Dann habe ich für den Erwartungswert die Gegenereignisse,
> also (1-P(A1)) + (1-(P(A2)) addiert. Da kam dann etwa 1.97
> oder so raus und das deckte sich mit meiner groben
> Einschätzung, aber ist das richtig oder war der letzte
> Schritt quatsch?
Ich habe den Eindruck, daß du hier Murks machst. Es ist P(X=1) = P(A1) + P(A2) = 1/21 und damit P(X=2) = 20/21. Für den Erw.-Wert ergibt sich dann (s. karma unten) 41/21 = 1,9524
(1-P(A1)) + (1-(P(A2)) ist weder der E-Wert noch irgend eine W.
Gruß
Dieter
|
|
|
|
