Erwartungswert < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Do 23.06.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen über zwei Zufallsvariablen [mm] X,Y\in \mathcal{L}^1.
[/mm]
(a) [mm]E(X)=E(Y)\Rightarrow P(X=Y)=1[/mm]
(b) [mm]E(|X-Y|)=0\Rightarrow P(X=Y)=1[/mm] |
Meine Ideen:
Zunächst b):
Nutze die Stetigkeit des W.-Maßes:
[mm]\limes_{n\to\infty} P(A_n)=P(A)[/mm] für eine monoton fallende Ereignisfolge [mm] A_n [/mm] mit Grenzwert [mm]A=\bigcap_{n\in \mathbb N} A_n[/mm]
Diese Eigenschaft bezeichne ich mal mit (*).
Nun Folgendes:
1.) Es gilt [mm]1_{|X-Y|\geq \frac{1}{n}}\leq n\cdot |X-Y|[/mm], denn für [mm]|X-Y|\geq \frac{1}{n}[/mm] ist [mm]|X-Y|=\frac{1}{n}+V, V\geq 0[/mm]. Daraus folgt [mm]n\cdot |X-Y|=\frac{n}{n}+n\cdot V\geq 1[/mm]. Also [mm]1_{|X-Y|\geq \frac{1}{n}}\leq n\cdot |X-Y|[/mm].
2.) [mm]P(|X-Y|\geq \frac{1}{n})=E(1_{|X-Y|\geq \frac{1}{n}})\leq E(n\cdot |X-Y|)=n\cdot E(|X-Y|)=0[/mm], da [mm]E(|X-Y|)=0[/mm] nach Annahme.
Hier hat man sowohl die Monotonie als auch die Linearität des Erwartungswerts benötigt.
[mm]\Rightarrow P(|X-Y|\geq \frac{1}{n})=0[/mm], da stets [mm]P(\hdots)\geq 0[/mm].
[mm]P(|X-Y|<\frac{1}{n})=1[/mm]
3.) Nutze nun (*).
[mm]P(\bigcap_{n\in \mathbb N}(|X-Y|<\frac{1}{n})=\underbrace{P(|X-Y|=0)}_{=P(X=Y)}=\limes_{n\to\infty} P(\underbrace{|X-Y|< \frac{1}{n}}_{=:A_n})=1[/mm], da [mm]P(A_n)=1\forall n\in \mathbb N[/mm].
Damit stimmt Aussage b.
Nun zu a):
Gegenbeispiel!
X="Augenzahl beim Würfeln"
Y=0, falls ungerade Augenzahl
Y=1, falls gerade Augenzahl
So gilt:
[mm]E(X)=E(Y)=3,5[/mm], jedoch
[mm]P(X=Y)=0[/mm], da X und Y disjunkte Wertebereiche haben.
Ich wäre dankbar, wenn jemand sich das alles mal ansieht und mir ein "Feedback" geben könnte. Insbesondere natürlich bei b). Dankesehr!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Do 23.06.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
b) ist richtig.
Bei a) hat Dein Y sicher nicht den Erwartungswert 3.5, ich nehm an Du meinst [mm] $Y\in\{0,7\}$, [/mm] aber die Argumentation stimmt. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Do 23.06.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ja, ich meinte, dass Y entweder den Wert 0 oder den Wert 7 annehmen kann, je mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5.
Habe ich das so besser ausgedrückt?
Das Andere war etwas mißverständlich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Do 23.06.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Habe ich das so besser ausgedrückt?
Du hast es im urspr. nicht schlecht ausgedrückt, Du hast nur ne 1 statt ner 7 geschrieben. =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Sa 25.06.2011 | | Autor: | dennis2 |
...achja, jetzt hab ichs auch gesehen.
Dankesehr für die Korrektur & Hilfe.
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