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| Aufgabe | Sei Y eine nichtnegative Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $F$. Zeigen Sie
a) [mm] E[Y]=\integral_{0}^{\infty}{1-F(y) dy}
[/mm]
Hinweis: Vertauschen der Integrationsreihenfolge erlaubt (Satz von Fubini)
b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\IP[Y>k+1] \le [/mm] E[Y] [mm] \le \summe_{k=0}^{\infty}\IP[Y>k] [/mm] |
Hallo Matheraum,
ich habe eine Lösung zur Aufgabe a) gefunden, allerdings ohne den Satz von Fubini überhaupt anzuwenden und frage mich, ob dieser trotzdem richtig ist. Also:
E[Y] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{y\cdot f(y)\ dy}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\infty}{y\cdot dF(y)\ dy}
[/mm]
= [mm] y\cdot F(y)|_{0}^{\infty}- \integral_{0}^{\infty}{F(y)\ dy}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\infty}{1\ dy}\ \cdot [/mm] 1 - 0 [mm] \cdot [/mm] F(0) - [mm] \integral_{0}^{\infty}{F(y)\ dy}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\infty}{1 - F(y)\ dy}
[/mm]
Beim Aufgabenteil b) habe ich eine Idee, weiß sie jedoch nicht zuende zu führen ... Vielleicht kann mir einer von euch hierbei helfen. Hier also mein Ansatz:
Meiner Meinung nach ist [mm] \IP[Y>k+1] [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{k+1}1-F(i), [/mm] woraus sich dann (mit Aufgabenteil (a)) folgende Ungleichung ergibt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\summe_{i=0}^{k+1}1-F(i) \le \integral_{0}^{\infty}{1-F(y)\ dy} \le \summe_{k=0}^{\infty}\summe_{i=0}^{k}1-F(i)
[/mm]
Ab hier weiß ich leider nicht, wie ich diese Ungleichung zeigen kann. Ich habe da an Ober- und Untersumme gedacht, wobei ich mir hier auch nicht so sicher bin, ob das überhaupt funktioniert.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Lieben Gruß,
Alex
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 Mi 07.12.2011 | | Autor: | donquijote |
> Sei Y eine nichtnegative Zufallsvariable mit
> Verteilungsfunktion [mm]F[/mm]. Zeigen Sie
>
> a) [mm]E[Y]=\integral_{0}^{\infty}{1-F(y) dy}[/mm]
>
> Hinweis: Vertauschen der Integrationsreihenfolge erlaubt
> (Satz von Fubini)
>
> b) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\IP[Y>k+1] \le[/mm] E[Y] [mm]\le \summe_{k=0}^{\infty}\IP[Y>k][/mm]
>
> Hallo Matheraum,
>
> ich habe eine Lösung zur Aufgabe a) gefunden, allerdings
> ohne den Satz von Fubini überhaupt anzuwenden und frage
> mich, ob dieser trotzdem richtig ist. Also:
>
> E[Y] = [mm]\integral_{0}^{\infty}{y\cdot f(y)\ dy}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{y\cdot dF(y)\ dy}[/mm]
> = [mm]y\cdot F(y)|_{0}^{\infty}- \integral_{0}^{\infty}{F(y)\ dy}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{\infty}{1\ dy}\ \cdot[/mm] 1 - 0 [mm]\cdot[/mm]
> F(0) - [mm]\integral_{0}^{\infty}{F(y)\ dy}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{1 - F(y)\ dy}[/mm]
>
Grundsätzlich funktioniert dein Ansatz mit partieller Integration. Allerdings muss man dann etwas sorgfältiger argumentieren. Die von dir betrachteten Integrale
[mm] \integral_{0}^{\infty}{1\ dy} [/mm] und [mm] \integral_{0}^{\infty}{F(y)\ dy} [/mm] divergieren, d.h. du erhältst [mm] $\infty-\infty$
[/mm]
Somit müsstest du zunächst das Integral von 0 bis x betrachten und dann so umschreiben, dass der Grenzwert für [mm] x\to\infty [/mm] existiert.
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Hallo Alex,
> Sei Y eine nichtnegative Zufallsvariable mit
> Verteilungsfunktion [mm]F[/mm]. Zeigen Sie
>
> a) [mm]E[Y]=\integral_{0}^{\infty}{1-F(y) dy}[/mm]
>
> Hinweis: Vertauschen der Integrationsreihenfolge erlaubt
> (Satz von Fubini)
>
> b) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\IP[Y>k+1] \le[/mm] E[Y] [mm]\le \summe_{k=0}^{\infty}\IP[Y>k][/mm]
>
> Hallo Matheraum,
>
> ich habe eine Lösung zur Aufgabe a) gefunden, allerdings
> ohne den Satz von Fubini überhaupt anzuwenden und frage
> mich, ob dieser trotzdem richtig ist. Also:
>
> E[Y] = [mm]\integral_{0}^{\infty}{y\cdot f(y)\ dy}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{\infty}{y\cdot dF(y)\ dy}[/mm]
> = [mm]y\cdot F(y)|_{0}^{\infty}- \integral_{0}^{\infty}{F(y)\ dy}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{\infty}{1\ dy}\ \cdot[/mm] 1 - 0 [mm]\cdot[/mm] F(0) - [mm]\integral_{0}^{\infty}{F(y)\ dy}[/mm]
Siehe hierzu donquijotes Hinweis: Da stehen zwei divergente Integrale.
> = [mm]\integral_{0}^{\infty}{1 - F(y)\ dy}[/mm]
>
> Beim Aufgabenteil b) habe ich eine Idee, weiß sie jedoch
> nicht zuende zu führen ... Vielleicht kann mir einer von
> euch hierbei helfen. Hier also mein Ansatz:
>
> Meiner Meinung nach ist [mm]\IP[Y>k+1][/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{k+1}1-F(i),[/mm]
Nein, es sollte [mm] \IP[Y>k+1]=1-F(k+1) [/mm] sein, damit kannst Du auch deine Idee mit Ober- und Untersumme entwickeln.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:48 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Quadratur |
Vielen Dank für eure Hilfe,
jetzt denke ich, habe ich mein Problem erkannt.
LG
Alex
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