Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei X eine Zufallsvariable mit [mm] $dP_X [/mm] = f(x)dx$. Berechnen Sie [mm] $E[X^n]$. [/mm] |
Hallo,
ich bin mir unsicher, ob der so berechnet wird.
Wir haben den Erwartungswert so definiert:
$E[X] = [mm] \integral_{\Omega} {X(\omega) dP(\omega)}$
[/mm]
Ist dann [mm] $E[X^n] [/mm] = [mm] \integral_{\Omega} {(X(\omega))^n dP(\omega)} [/mm] = [mm] \integral_{\IR} {x^n f(x) dx}$? [/mm] (im stetigen Fall)
Wenn ja, wie genau hat man die Transformationsformel benutzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:50 Mo 20.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fabian.Dust,
> Sei X eine Zufallsvariable mit [mm]dP_X = f(x)dx[/mm]. Berechnen Sie
> [mm]E[X^n][/mm].
Sicherlich ist [mm] $X^n$ [/mm] als $P$-integrierbar vorausgesetzt.
> Ist dann [mm]E[X^n] = \integral_{\Omega} {(X(\omega))^n dP(\omega)} = \integral_{\IR} {x^n f(x) dx}[/mm]?
Ja.
> Wenn ja, wie genau hat man die Transformationsformel
> benutzt?
Bei deinem zweiten Gleichheitszeichen. Ausführlicher:
[mm] $\integral_{\Omega} {(X(\omega))^n dP(\omega)}=\integral_{\IR}{x^n dP_X(dx)} [/mm] = [mm] \integral_{\IR} {x^n f(x) dx}$
[/mm]
Das erste meiner beiden Gleichheitszeichen folgt aus der Transformationsformel.
Viele Grüße
Tobias
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Ach du meine Güte. Dass ich selbst nicht drauf gekommen bin...
Vielen Dank!
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