Erwartungswert, Diskret < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:22 Mi 29.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei X eine Zufallsvariable, die nur pos ganzzahlige Werte annimmt. Seien a,b>0 positive Konstanten. Es wirds angenommen dass [mm] P(X=2k)=a^k [/mm] und P(X=2k-1) = [mm] b^k [/mm] für alle k=1,2..
Seien a=b<1. berechne [mm] E[a^X]
[/mm]
(Hinweis: P soll ein Wahrscheinlichkeitsmass sein) |
Hallo
Für a ,b < 1
[mm] \sum_{k=1}^\infty [/mm] P(X=k) = 1
<=> [mm] \sum_{k=1}^\infty [/mm] P(X=2k-1)+ [mm] \sum_{k=1}^\infty [/mm] P(X=2k)= [mm] a^k [/mm] + [mm] b^k [/mm] = [mm] \frac{a}{1-a} [/mm] + [mm] \frac{b}{1-b}
[/mm]
...<=> 1= 2a + 2b - 3ab
a=b
=>0=3 [mm] a^2 [/mm] - 4a +1
=> a= 1/3 da a <1
Y= [mm] a^X [/mm] = g(X) mit g(X)= [mm] a^X
[/mm]
[mm] E[a^X] [/mm] = [mm] \sum_{x \in X(\Omega)} [/mm] g(x) P(X=x) = [mm] \sum_{k \ge 0} a^X [/mm] P(X=k) = [mm] \sum_{k\ge 0}a^X [/mm] [P(X=2k-1) + P(X=2k)]..
ist laut Lösungsbuch falsch..
Wo ist mein Fehler?Bei der SUmmierung?
EDIT: In Mitteilung auf einen Fehler draufgekommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:38 Mi 29.05.2013 | | Autor: | sissile |
Achso ..
$ [mm] E[a^X] [/mm] $ = $ [mm] \sum_{x \in X(\Omega)} [/mm] $ g(x) P(X=x) = $ [mm] \sum_{k \ge 0} a^k [/mm] $ P(X=k) = [mm] \sum_{k\ge 0}a^{2k-1} [/mm] P(X=2k-1) + [mm] a^{2k} [/mm] P(X=2k) =
[mm] \sum_{k\ge 0} a^{2k-1} a^k [/mm] + [mm] a^{2k} a^k [/mm] = [mm] \sum_{k\ge 0} a^{3k-1} [/mm] + [mm] a^{3k} [/mm] = [mm] \sum_{k\ge 0} a^{3k} [/mm] *(1/a +1)= (1/a +1) [mm] \frac{a^3}{1-a^3}
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:14 Mi 29.05.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
> Beachte, dass die Reihen bei $ k=1 $ beginnen, die geometrische Reihe jedoch bei $ k=0 $. Du benötigst also jeweils einen "Korrekturterm".
Hab ich doch mit dem a in Zähler.
DU hast recht bei der Summe hab ich mich im Index verschrieben es aber "richtig" ausgeführt.
Ich verstehe nicht was jetzt nicht passen sollte.
[mm] \sum_{k\ge0} a^k [/mm] = [mm] \frac{1}{1-a}
[/mm]
[mm] \sum_{k\ge1} a^k [/mm] = [mm] \frac{a}{1-a}
[/mm]
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)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
, du hast recht, das war Blödsinn von mir!
