Erwartungswert Logarithmusfunk < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Do 17.03.2011 | | Autor: | FH68 |
| Aufgabe | Eine Versicherung modelliert die zufällige Anzahl von Verkehrsunfällen auf einer bestimmten Budnesstraße mit Hilfe einer logarithmischen Verteilung. Eine ufallsvariable X ist logarithmisch verteilt mit Parameter P €(0,1), wenn
P(X=k) = [mm] C_{p} [/mm] * [mm] (p^k [/mm] / k) , k € N
gilt , wobei [mm] C_{p} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-ln(1-p)} [/mm] und ln(x) den natürlichen Logarithmus von x bezeichnet.
[img]http://s04.trixum.de/upload2/V/L/VLY5fmAjWCsb130021376064S.jpg[img] |
Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) der Zufallsvariablen X.
Die Lösung soll lauten: [mm] C_{p} \bruch{p}{1-p} [/mm] , aber ich kriege es einfach nicht raus.
Da das eine diskrete Funktion ist, dachte ich, ich müsse mit [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} p_{i} [/mm] lösen. Ich denke, dass das auch richtig ist, aber weiter komme ich nicht.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://statistikforum.foren-city.de/topic,10239,-erwartungswert-einer-komischen-funktion.html#33106]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Du mußt berechnen:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}k*P(X=k)= \summe_{k=1}^{\infty}k*\bruch{C_p*p^k}{k}= C_p* \summe_{k=1}^{\infty}p^k$
[/mm]
Jetzt Summenformel für die geometrische Reihe.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Do 17.03.2011 | | Autor: | FH68 |
ich muss wohl tomaten vor den augen gehabt habenn... :)
vielen dank... eins aber noch: ich verstehe nicht ganz wieso
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} p^k [/mm] = [mm] \bruch{p}{1 - p} [/mm] ist??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Do 17.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
wie Fred gesagt hat, Geometrische Reihe, s. ![[]](/images/popup.gif) hier
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mi 23.03.2011 | | Autor: | FH68 |
Ich hätte da noch eine Frage zu dieser Aufgabe.
Was wäre eigentlich die Varianz hiervon? Also viel wichtiger ist das zweite Moment [mm] E(X^2)
[/mm]
Da die Funktion diskret ist, kann ich dann [mm] E(x^2) [/mm] - [mm] (E(x))^2 [/mm] verwenden.
Zumindest gehe ich davon aus, da in der Aufgabenstellung sowohl nach dem zweiten Moment als auch nach der Varianz gefragt wird. Da ich in der vorherigen Aufgabe den Erwartungswert berechnet habe, würde sich die Lösung der Varianz anhand von [mm] E(x^2) [/mm] - [mm] (E(x))^2 [/mm] dafür eigenen oder?
Danke
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> Ich hätte da noch eine Frage zu dieser Aufgabe.
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> Was wäre eigentlich die Varianz hiervon? Also viel
> wichtiger ist das zweite Moment [mm]E(X^2)[/mm]
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> Da die Funktion diskret ist, kann ich dann [mm]E(x^2)[/mm] -
> [mm](E(x))^2[/mm] verwenden.
>
> Zumindest gehe ich davon aus, da in der Aufgabenstellung
> sowohl nach dem zweiten Moment als auch nach der Varianz
> gefragt wird. Da ich in der vorherigen Aufgabe den
> Erwartungswert berechnet habe, würde sich die Lösung der
> Varianz anhand von [mm]E(x^2)[/mm] - [mm](E(x))^2[/mm] dafür eigenen oder?
>
> Danke
Hallo,
ich habe irrtümlich zunächst auf deine erste Frage
geantwortet, die aber ja schon seit Tagen erledigt ist ...
Nun, für [mm] E(X^2) [/mm] ergibt sich doch:
$\ [mm] E(X^2)\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}k^2*P(X=k)\ [/mm] =\ [mm] C_p*\summe_{k=1}^{\infty}k*p^k$
[/mm]
Auch für Reihen dieser Art gibt es eine Summenformel
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mi 23.03.2011 | | Autor: | FH68 |
hi...
erstmal danke für die antwort.
die Lösung dafür soll sein: [mm] E(X^2) [/mm] = [mm] C_p \bruch{p}{(1-p)^2}
[/mm]
Laut Wikipedia ist aber die geo. Reihe von [mm] s_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_0 p^k [/mm] k --> [mm] s_n [/mm] = [mm] a_0 \bruch{nq^(n+2) - (n+1)q^(n+1) + q}{(q-1)^2}
[/mm]
Auf mein Frage übertragen wäre das dann: [mm] s_n [/mm] = [mm] C_p \bruch{np^(n+2) - (n+1)p^(n+1) + p}{(p-1)^2} [/mm] --> [mm] s_k [/mm] = [mm] C_p \bruch{\infty p^(\infty +2) - (\infty +1)p^(\infty +1) + p}{(p-1)^2} [/mm]
dann habe ich das alles ausmultipliziert usw... aber nicht das gewünschte Ergebnis erhalten können. Wenn du mir da bitte noch einmal kurz helfen könntest?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mi 23.03.2011 | | Autor: | FH68 |
also wenn ich jetzt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} s_n [/mm] laufen lasse, dann sieht das folgendermaßen aus:
ich betrachte jetzt erstmal nur die summanden im zähler und einzeln, um es besser darstellen können.
den zähler ausmultipliziert ergibt: [mm] np^{n+2} [/mm] - [mm] np^{n+1} [/mm] - [mm] p^{n+1} [/mm] +p
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} np^{n+2} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} -np^{n+1} [/mm] = 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} -p^{n+1} [/mm] = 0
dann müsste ich noch für die varianz = [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] (E(X))^2 [/mm] rechnen
also bleibt im zähler nur noch + p und der nenner bleibt gleich mit (1 - [mm] p)^2
[/mm]
somit hätte ich [mm] E(X^2) [/mm] = [mm] C_p \bruch{p}{(1-p)^2}
[/mm]
oder liege ich da falsch?
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> somit hätte ich [mm]E(X^2)[/mm] = [mm]C_p\ *\ \bruch{p}{(1-p)^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist richtig.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Al hats schon gesagt, dass Du richtig gerechnet hast. Ist Dir aber auch klar, warum
[mm] (n*p^n)
[/mm]
eine Nullfolge ist ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mi 23.03.2011 | | Autor: | FH68 |
um ehrlich zu sein, nicht genau... für eine erklärung wäre ich dankbar:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> um ehrlich zu sein, nicht genau... für eine erklärung
> wäre ich dankbar:)
Mit dem Wurzel - oder Quotientenkrit, sieht man schnell: für |p|<1 ist [mm] \sum n*p^n [/mm] konvergent, also ist [mm] (n*p^n) [/mm] eine Nullfolge
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 Mi 23.03.2011 | | Autor: | FH68 |
auf eigene faust zu rechnen ist am lehrreichsten... selbstverständlich ist eine hilfstellung ab und an nötig...
ich bedanke mich für die hilfe...
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> Eine Versicherung modelliert die zufällige Anzahl von
> Verkehrsunfällen auf einer bestimmten Budnesstraße mit
> Hilfe einer logarithmischen Verteilung. Eine Zufallsvariable
> X ist logarithmisch verteilt mit Parameter P [mm] \in(0,1) [/mm] ,
> wenn
> P(X=k) = [mm]C_{p}[/mm] * [mm](p^k[/mm] / k) , k € N
> gilt , wobei [mm]C_{p}[/mm] = [mm]\bruch{1}{-ln(1-p)}[/mm] und ln(x) den
> natürlichen Logarithmus von x bezeichnet.
>
> [img]http://s04.trixum.de/upload2/V/L/VLY5fmAjWCsb130021376064S.jpg[img]
> Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) der Zufallsvariablen X.
>
> Die Lösung soll lauten: [mm]C_{p} \bruch{p}{1-p}[/mm] , aber ich kriege es einfach nicht raus.
>
> Da das eine diskrete Funktion ist, dachte ich, ich müsse mit [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} p_{i}[/mm] lösen. Ich denke, dass das auch richtig ist, aber weiter komme ich nicht.
Bleiben wir doch bei den obigen Bezeichnungen. Dann
gilt:
$E(X)\ =\ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}k*P(X=k)$
[/mm]
Dies führt auf eine einfache geometrische Reihe
(so wie auch gerade in deiner anderen Aufgabe)
LG Al-Chw.
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
