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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
EX ist bekannterweise eine Schreibweise für den Erwartungswert der Zufallsvariable X.
Auf einem Übungsblatt habe ich folgende Schreibweise : E { [mm] X_{i} [/mm] } gesehen, wobei X:= [mm] \summe_{i=1}^{10} {X_{i}} [/mm] . [mm] X_{i}= [/mm] 1 oder 0.
Der Erwartungswert als Funktion erhält eine Zufallsvariable.
Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung .
Meine Frage ist: Ist { [mm] X_{i} [/mm] } eine Zufallsvariable , ist die Menge { [mm] X_{i} [/mm] } also eine Abbildung? Kann eine Menge auch als Abbildung vorkommen?...
Ich bin so pingelig  , dass ich einen Beweis wünsche, dass die Schreibweise E{ [mm] X_{i} [/mm] } gültig ist.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Mo 13.07.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
es ist schwierig,
auf die Frage angemessen zu antworten.
Ich probiers's.
[mm] $X_{i}= 0\,oder\;X_{i}=1$
[/mm]
Tja,
ich schätze, wir haben einen klassischen Bernoulli-Versuch.
Die Binomialverteilung beantwortete die Frage.
Schönen Gruß
Karsten
Haben wir einen klassischen Bernoulli-Versuch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich poste einfachheitshalber die vollständige Aufgabe per folgenden Link:
![[]](/images/popup.gif) übung 09.pdf Aufgabe 34.
Wie kann dieser Fakt (falls hier der klassische Bernoulli-Versuch und Binomialverteilung vorliegt )
zum Beweis weiterhelfen?
Du schreibst [mm] E(X_{i})=... [/mm] Ist das dasselbe wie E{ [mm] X_{i} [/mm] } und warum?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mo 13.07.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag!
Man möchte ausdrücken:
die Wahrscheinlichkeit,
daß das [mm] $\b Ereignis\;X_{i}$ [/mm] entritt.
Das kann man unterschiedlich notieren:
am pingeligsten ist
[mm] $P(\{X_{i}\})$
[/mm]
etwas lockerer:
[mm] $P(X_{i})$.
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses,
dass
die Zufallsvariable [mm] $X_{i}$
[/mm]
den Wert (klein) x annimmt,
schreibt man dann
[mm] $P(\{X_{i}=x\})$
[/mm]
oder etwas nachlässiger
[mm] $P(X_{i}=x)$.
[/mm]
[mm] $Fuer\; den\; Erwartungswert\; gilt\; [/mm] entsprechendes$.
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
kurze Anmerkung/Frage:
Du schreibst P(...) , also meinst die Wahrscheinlichkeit.
Ich habe den Erwartungswert gemeint E(...) oder ist das in gewisser Weise
das gleiche und warum?
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
sorry habe den letzten Satz nicht gesehen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mo 13.07.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
tatsächlich ist es $nicht$ dasselbe.
Eine Wahrscheinlichkeit
ist eine Wahrscheilkeikeit,
ist eine Wahrscheinlichkeit,
ist eine usw.
Ein Erwartungswert ist der $Schwerpunkt$ der Wahscheinlichkeitsverteilung der $zugrundeliegenden$ Zufallsvariablen.
[mm] $P({X_{i}=x})$ [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit,
dass die Zufallsvariable [mm] $X_{i}$ [/mm] den Wert $x$ annimmt.
[mm] $E(X_{i})$ [/mm] hingegen ist das gewichtete Mittel der Werte,
die die Zufallsvariable [mm] $X_{i}$ [/mm] annehmen $koennte$.
Um die Verwirrung komplett zu machen:
[mm] $E(X_{i})$ [/mm]
$kann$ ein Wert sein,
den [mm] $X_{i}$ [/mm] $niemals$ annimmt.
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo
> Hallo und guten Tag!
>
> Man möchte ausdrücken:
> die Wahrscheinlichkeit,
> daß das [mm]\b Ereignis\;X_{i}[/mm] entritt.
>
>
> Das kann man unterschiedlich notieren:
> am pingeligsten ist
> [mm]P(\{X_{i}\})[/mm]
warum ist also diese Schreibweise am pingelesten / am genauesten /am strengsten und warum werden bei der Aufgabe unteschiedliche Schreibweisen verwendet : einmal die lockerere Variante EX und dann
E{X} die strengere Variante?
Vielleicht mal ein bisschen anderes gefragt , warum gilt EX=E{X} bzw.
warum werden genau solche Schreibweise auf der linken und der rechten Seite verwendet? Gibt es dafür einen mathematischen Grund , oder ist das
nur Geschmackssache, was man schreibt (EX oder E{X})?
> etwas lockerer:
> [mm]P(X_{i})[/mm].
>
> Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses,
> dass
> die Zufallsvariable [mm]X_{i}[/mm]
> den Wert (klein) x annimmt,
> schreibt man dann
> [mm]P(\{X_{i}=x\})[/mm]
> oder etwas nachlässiger
> [mm]P(X_{i}=x)[/mm].
>
> [mm]Fuer\; den\; Erwartungswert\; gilt\; entsprechendes[/mm].
>
> Schönen Gruß
> Karsten
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Di 14.07.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Karsten,
zunächst mal ist es einfach eine Frage, wie diese Erwartungswertbildung eingeführt wurde in der Vorlesung bzw. mit welcher Nomenklatur. Die pingelige Art, wie Du sie nennst, ist sehr eindeutig, durch die Klammer wird klar, auf welche Größe die Erwartungswertbildung angewendet werden soll. Zufallsvariablen kann man beispielsweise auch addieren und von dieser neuen Größe den Erwartungswert bilden, dann würde ich schon lieber so was schreiben wie E(X+Y) anstelle von EX+Y, was man auch interpretieren könnte als der Erwartungswert von X, der um Y vergrößert wird. Die legere Schreibweise kenne ich aus der Bezeichnung von Variablen in der Programmierung, denn dort sind häufig Klammern nicht als Bestandteil des Variablennamens zugelassen. Wenn man weiss, was mit dem E gemeint ist, schreibt man dann gerne EX. Bei einer manuellen Rechnung auf dem Papier würde ich es nicht empfehlen, man kommt leicht durcheinander.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Mo 13.07.2009 | | Autor: | karma |
Hallo,
sei
[mm] $P({X_{i}=1})=p_{i}$.
[/mm]
Dann ist
[mm] $E(X_{i})=0*(1-p_{i})+1*p_{i}=1*p_{i}=p_{i}$
[/mm]
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:31 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
auf dem Übungsblatt steht zuerst EX und dann E{"Summe"=X}.
Sind die geschweiften Klammern nur zur Abgrenzung gedacht oder will man hier hindeuten, dass {"Summe"=X} eine Menge ist?
Warum werden bei EX keine geschweiften Klammern um das X gesetzt und bei
EX=E "Summe" werden um die "Summe" Klammern gesetzt?
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 15.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Mo 13.07.2009 | | Autor: | karma |
Hallo,
ein Zufallsversuch endet in einem Ergebnis.
So weit, so gut.
Dieses Ergebnis hat eine Wahrscheinlichkeit,
das ist eine Zahl zwischen Null und eins, die angibt,
welchen Anteil $dieses$ spezielle Ergebnis an allen Ergebnissen hat, die der Zufallsversuch zeigen könnte.
Oft interessiert man sich aber nicht nur für das einzelne Ergebnis,
sondern für ein Konglomerat von Ergebnissen.
Dieses Konglomerat nennt man Ereignis, es ist eine Menge von Ergebnissen.
Eine Zufallsvariablebilde bildet die Ergebnisse auf Zahlen ab.
Wenn man schreibt
[mm] $\{X_{i}=x\}$
[/mm]
meint man
die Menge der Ergebnisse, für die die Zufallsvariable
[mm] $X_{i}$
[/mm]
den Wert x annimmt.
[mm] $P\{X_{i}=x\}$ [/mm]
ist dann die Wahrscheinlichkeit dieser Ergebnisse.
Langes Schweigen.
Ein Erwartungswert hingegen ist eine Zahl,
die den Schwerpunkz einer Zufallsvariablen kennzeichnet,
also $nicht$ direkt auf Ergenissen oder Mengen von Ergebnissen operiert.
[mm] $E(X_{i})$ [/mm] ist der Schwerpunkt der Werte,
die die Zufallsvariable [mm] $X_{i}$ [/mm] annehmen kann,
mit anderen Worten:
das gewichtete Mittel aller möglichen Realisationen der Zufallsvariablen [mm] $X_{i}$.
[/mm]
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich versuche mal zusammenfassend mich kurz zu fassen(hierbei beziehe ich mich auf den Link mit der Aufgabe34) :
Warum ist das falsch EX=E [mm] \summe_{i=1}^{10}X_{i} [/mm] zu schreiben,anstatt
EX=E { [mm] \summe_{i=1}^{10}X_{i} [/mm] }? (Falls es überhaupt falsch ist)
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Di 14.07.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Morgen,
der Erwartungswert ist ein Operator,
der auf auf einer Zufallsvariable arbeitet.
Dieser Bezug wird häufig durch Klammern ausgedrückt,
also z. B. E(X) ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$.
$Manchmal$ läßt man aber auch die Klammern weg,
insbesondere wenn der Autor davon ausgeht,
daß $E$ als Erwartungswert einer Zufallsvariablen interpretiert wird;
man schreibt also $EX$ statt E(X).
[mm] $Ab\; und\; zu\;$ [/mm] sieht man auch geschweifte Klammern;
E{X} soll dann bedeueten E(X)
und das bezeichnet den Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$.
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Di 14.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
kannst Du bitte meine Frage bezüglich der Gleichung beantworten?
Ich habe gefragt, ob das falsch wäre die geschweiften Klammern in der Gleichung wegzulassen. Sind diese geschweiften Klammern reine Geschmackssache oder gibt es eine mathematische Begründung , warum die Gleichung ohne diese Klammern nicht korrekt wäre?
Bemerkung/Frage: Ich kenne die geschweiften Klammern von Mengen.
Wenn das eine Menge (ein Ereignis) ist, was in den geschweiften Klammern steht ( nicht abgesehen davon, dass der Inhalt in den Klammern eine ZV sein muss, da Erwartungswert als Operator auf ZV'en arbeitet),
dann bedeutet das ,dass eine ZV (also eine Abbildung) eine Menge sein kann ?
Kann also eine Abbildung eine Menge sein ( vielleicht in der Mengetheorie ?) ?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Di 14.07.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
betrachte den Wahrscheinlichkeitsraum
[mm]\Omega = \{\omega_1, \omega_2, ..., \omega_n\}[/mm]
wobei die [mm]\omega_i[/mm] die möglichen ausgänge des Zufallsexperiments sind.
auf diesem W-Raum definieren wir eine Zufallsvariable X:
[mm]X: \omega \mapsto X(\omega)[/mm]
diese ist eine Abbildung. Nehmen wir mal eine in die reellen Zahlen. Jetzt betrachten wir zum Beispiel mal die Menge
[mm]\{X(\omega) = a\}[/mm] mit [mm] a\in\IR
[/mm]
in dieser Menge sind alle [mm]\omega_i[/mm] für die [mm]X(\omega_i) = a[/mm] ist. Aus Gründen der Vereinfachung schreibt man oft nur (X=a) für diese Menge!
ein Beispiel:
Würfelwurf
[mm]\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}[/mm]
und die ZV
[mm]X(\omega)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } \omega \mbox{ ungerade} \\ 1, & \mbox{für } \omega \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
der Erwartungswert von X ist somit:
[mm]E(X) = -1*\bruch{3}{6}+1*\bruch{3}{6} = 0[/mm]
dies kann man aber auch so darstellen:
[mm]E(X) = -1*\bruch{1}{6}-1*\bruch{1}{6}-1*\bruch{1}{6}+1*\bruch{3}{6}+1*\bruch{3}{6}+1*\bruch{3}{6} = 0[/mm]
Es ist also so:
[mm]\{X(\omega)=-1\} = \{1,3,5\}[/mm]
und
[mm]\{X(\omega)=1\} = \{2,4,6\}[/mm]
die Abbildung X nimmt jeweils auf einer Menge einen bestimmten Wert an deshalb auch die Schreibweise. Es ist ja so:
[mm]P(X=a)=P(\{X(\omega)=a\})[/mm] deshalb:
[mm]E(X)=E\{X\}[/mm]
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mo 13.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> EX ist bekannterweise eine Schreibweise für den
> Erwartungswert der Zufallsvariable X.
Ist sie nicht. Meines Wissens ist die allgemein anerkannte Schreibweise E(X).
Da war der Prof wohl etwas eigensinnig oder nachlässig.
Gruß Abakus
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