Erwartungswert / Streuung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Fr 16.01.2015 | | Autor: | tante123 |
| Aufgabe | Aus Erfahrung ist bekannt, dass die (in Stunden gemessene) zufällige Lebenesdauer X eines Verschleißteiles an einem Regler die Verteilungsfunktion y=F(x), k>0, z>0, pos. Parameter, besitzt:
[mm] y=F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le z \mbox{} \\ 1-(\bruch{z}{x})^{k}, & \mbox{für } x>z \mbox{} \end{cases} [/mm] (sogenannte Par(k,z)-Verteilung nach Pareto).
a) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Streuung [mm] D^{2}(X) [/mm] für k>2
b) Wie lauten E(X) und [mm] D^{2}(X) [/mm] für k=2 und c) k=1 ? |
Meine Frage ist ob ich dafür die Allgemeine Formel verwenden kann?!
[mm] E(X)=\mu=\summe_{i}x_{i}*p_{i}
[/mm]
[mm] D^{2}(X)=(\delta)^{2.5}=\summe_{i}(x_{i})^{2}*p_{i}-(\mu)^{2}
[/mm]
Und wenn ja wie ich diese dann dafür anwenden kann?!
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Fr 16.01.2015 | | Autor: | abakus |
> Aus Erfahrung ist bekannt, dass die (in Stunden gemessene)
> zufällige Lebenesdauer X eines Verschleißteiles an einem
> Regler die Verteilungsfunktion y=F(x), k>0, z>0, pos.
> Parameter, besitzt:
>
> [mm]y=F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le z \mbox{} \\ 1-(\bruch{z}{x})^{k}, & \mbox{für } x>z \mbox{} \end{cases}[/mm]
> (sogenannte Par(k,z)-Verteilung nach Pareto).
>
> a) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Streuung
> [mm]D^{2}(X)[/mm] für k>2
> b) Wie lauten E(X) und [mm]D^{2}(X)[/mm] für k=2 und c) k=1 ?
> Meine Frage ist ob ich dafür die Allgemeine Formel
> verwenden kann?!
> [mm]E(X)=\mu=\summe_{i}x_{i}*p_{i}[/mm]
Nein, diese Formel gilt nur für diskrete Zufallsgrößen.
Die Variable x ist jedoch stetig veränderbar.
Da muss es irgendeine Formel mit einem Integral geben...
>
> [mm]D^{2}(X)=(\delta)^{2.5}=\summe_{i}(x_{i})^{2}*p_{i}-(\mu)^{2}[/mm]
> Und wenn ja wie ich diese dann dafür anwenden kann?!
>
> Vielen Dank
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Sa 17.01.2015 | | Autor: | tante123 |
Ja stimmt. Dazu muss ich diese Formel doch nehmen?
[mm] \mu=E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}
[/mm]
und daraus folgt dann
[mm] \delta^{2}=D^{2}(x)=E(x^{2})-\mu^{2}=\integral_{-\infty}^{\infty}{x^{2}*f(x) dx-\mu^{2}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Die erste Formel, die Du in Deiner "Mitteilung" angibst, ist die richtige.
$ [mm] \mu=E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x\cdot{}f(x) dx} [/mm] $
Die Varianz kann zusätzlich auch so geschrieben werden:
$ [mm] \operatorname{Var}(X)\ [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 [/mm] f(x) [mm] \, \mathrm{d}x [/mm] $
Gruss,
Hanspeter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Sa 17.01.2015 | | Autor: | tante123 |
Ok. Und was setz ich jetzt für die Grenzen ein?
[mm] \mu=E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x\cdot{}f(x) dx} [/mm]
wenn ich eine Dichtefunktion habe die lautet:
[mm] f(x)=\bruch{k*(\bruch{z}{x})^{k}}{x}
[/mm]
für die Aufgabe mit a) k>2 b) k=2 c) k=1
|
|
|
| |
|
> Ok. Und was setz ich jetzt für die Grenzen ein?
> [mm]\mu=E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x\cdot{}f(x) dx}[/mm]
> wenn ich eine Dichtefunktion habe die lautet:
> [mm]f(x)=\bruch{k*(\bruch{z}{x})^{k}}{x}[/mm]
> für die Aufgabe mit a) k>2 b) k=2 c) k=1
Nun, es ist ja $f(x)=0$ für [mm] $x\leq [/mm] z$, also
[mm]\mu=E(x)=\integral_{z}^{\infty}{x\left(1-(\bruch{z}{x})^{k}\right) dx}[/mm]
Gruss,
Hanspeter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Sa 17.01.2015 | | Autor: | luis52 |
>
> Nun, es ist ja [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]x\leq z[/mm], also
>
> [mm]\mu=E(x)=\integral_{z}^{\infty}{x\left(1-(\bruch{z}{x})^{k}\right) dx}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]\mu=E(x)=\integral_{z}^{\infty}{x\cdot \frac{k \left(\frac{z}{x}\right)^k}{x} dx}[/mm]
|
|
|
| |
|
> > [mm]\mu=E(x)=\integral_{z}^{\infty}{x\left(1-(\bruch{z}{x})^{k}\right) dx}[/mm]
>
>
>
> [mm]\mu=E(x)=\integral_{z}^{\infty}{x\cdot \frac{k \left(\frac{z}{x}\right)^k}{x} dx}[/mm]
Dake für die Korrektur! War wohl heute nicht so mein Tag der Achtsamkeit ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 So 18.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> Dake für die Korrektur! War wohl heute nicht so mein Tag
> der Achtsamkeit ...
Gerne. Solche "Sternstunden" hatte ich auch schon ... 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Sa 17.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> Die erste Formel, die Du in Deiner "Mitteilung" angibst,
> ist die richtige.
>
> [mm]\mu=E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x\cdot{}f(x) dx}[/mm]
>
> Die Varianz ist allerdings anders:
>
> [mm]\operatorname{Var}(X)\ = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) \, \mathrm{d}x[/mm]
>
> Gruss,
> Hanspeter
Beide Formeln sind korrekt:
[mm] $\operatorname{Var}(X)\ [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 [/mm] f(x) [mm] \, \mathrm{d}x=\integral_{-\infty}^{\infty}{x^{2}\cdot{}f(x) dx-\mu^{2}} [/mm] $
|
|
|
| |
|
> > Die erste Formel, die Du in Deiner "Mitteilung" angibst,
> > ist die richtige.
> >
> > [mm]\mu=E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x\cdot{}f(x) dx}[/mm]
> >
>
> > Die Varianz ist allerdings anders:
> >
> > [mm]\operatorname{Var}(X)\ = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) \, \mathrm{d}x[/mm]
>
> >
> > Gruss,
> > Hanspeter
>
> Beide Formeln sind korrekt:
>
> [mm]\operatorname{Var}(X)\ = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) \, \mathrm{d}x=\integral_{-\infty}^{\infty}{x^{2}\cdot{}f(x) dx-\mu^{2}}[/mm]
Ah, ja, natürlich, weiss auch nicht, was ich da überlegt habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 So 18.01.2015 | | Autor: | tante123 |
Alles klar. Vielen Dank euch.
|
|
|
|
