Erwartungswert, Varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 16.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Bei einem Grillfest kommt folgende Frage auf: Man hat genügend Grillkohle, um den Grill 4 Stunden zu benutzen. Falls aber in diesen 4 Stunden ein Gewitter einsetzt, muss man das Grillen sofort beenden. Wie lange kann man grillen?
Nehmen Sie zu dieser Frage Stellung, indem Sie den Erwartungswert und die Varianz der gesuchten Zeitspanne berechnen. Nehmen Sie hierzu an, dass die Wartezeit(in Stunden) vom Grillbeginn bis zum Einsetzen des nächsten Gewitters exponentialverteilt mit Parameter [mm] \alpha>0 [/mm] ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey Leute,
ich bin etwas ratlos was das Bestimmen bzw. Berechnen des Erwartungswerts und der Varianz betrifft. Ich wäre daher sehr dankbar, wenn mir das jemand anhand der obigen Aufgabe etwas näher erklären könnte oder zumindest etwas weniger abstarkt wie wir das in der Vorlesung hatten.
Vor allem der Erwartungswert und die Varianz in Verbindung mit einer Verteilung wie es hier auch der Fall ist, bringt mich doch sehr aus dem Konzept. Ich bedanke mich schon mal sehr für mögliche Erklärungsversuche und Tipps!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Di 16.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Bei einem Grillfest kommt folgende Frage auf: Man hat
> genügend Grillkohle, um den Grill 4 Stunden zu benutzen.
> Falls aber in diesen 4 Stunden ein Gewitter einsetzt, muss
> man das Grillen sofort beenden. Wie lange kann man
> grillen?
>
> Nehmen Sie zu dieser Frage Stellung, indem Sie den
> Erwartungswert und die Varianz der gesuchten Zeitspanne
> berechnen. Nehmen Sie hierzu an, dass die Wartezeit(in
> Stunden) vom Grillbeginn bis zum Einsetzen des nächsten
> Gewitters exponentialverteilt mit Parameter [mm]\alpha>0[/mm] ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hey Leute,
>
> ich bin etwas ratlos was das Bestimmen bzw. Berechnen des
> Erwartungswerts und der Varianz betrifft. Ich wäre daher
> sehr dankbar, wenn mir das jemand anhand der obigen Aufgabe
> etwas näher erklären könnte oder zumindest etwas weniger
> abstarkt wie wir das in der Vorlesung hatten.
>
> Vor allem der Erwartungswert und die Varianz in Verbindung
> mit einer Verteilung wie es hier auch der Fall ist, bringt
> mich doch sehr aus dem Konzept. Ich bedanke mich schon mal
> sehr für mögliche Erklärungsversuche und Tipps!!
Hallo,
wenn die stetige Zufallsgröße X die Dichtefunktion f(x) besitzt, so gilt
[mm] E(X)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}.
[/mm]
Im konkreten Fall ist die Dichtefunktion Null, wenn x<0 oder x>4 gilt.
Also bleibt
[mm] E(X)=\integral_{0}^{4}{x*f(x) dx}.
[/mm]
Dabei ist [mm] f(x)=\alpha*e^{-\alpha*x}.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Di 16.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey klasse vielen Dank da wird doch gleich einiges viel klarer  .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Mi 17.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin kegel53,
die Loesung von Abakus hat einen kleinen Schoenheitsfehler, denn die Funktion $f_$ ist keine Dichte [mm] ($\int_\infty^\infty f(x)\,dx=\int_0^4 f(x)\,dx<1$). [/mm]
M.E. empfiehlt es sich hier mit dem Konzept der gestutzten Exponentialverteilung zu arbeiten, deren Dichte im vorliegenden Fall gegeben ist durch [mm] $g(x)=\alpha\exp[-\alpha x]/(1-\exp[-4\alpha])$ [/mm] fuer $0<x<4$ und $g(x)=0$ sonst. Der Erwartungswert ist dann
[mm] $\operatorname{E}[X]=\frac{\alpha}{1-\exp[-4\alpha]}\int_0^4\exp[-\alpha x]\,dx$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Do 18.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey Luis,
okay vielen Dank, aber könntest du vielleicht nochmal erklären was es mit der gestutzten Exponentialverteilung auf sich hat und wie man dann darauf kommt dass die Dichte g(x)=... ist. Ich meine warum ist denn g eine Dichte von X f jedoch nicht das is mir nich so ganz klar.
Und müsste der Erwartungswert dann nicht lauten
[mm] \operatorname{E}[X]=\frac{\alpha}{1-\exp[-4\alpha]}\int_0^4 [/mm] x [mm] *\exp[-\alpha x]\,dx [/mm] ??
Wär toll wenn du noch ein wenig Licht ins Dunkel bringen könntest. Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Do 18.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin kegel53,
> Hey Luis,
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> okay vielen Dank, aber könntest du vielleicht nochmal
> erklären was es mit der gestutzten Exponentialverteilung
> auf sich hat und wie man dann darauf kommt dass die Dichte
> g(x)=... ist. Ich meine warum ist denn g eine Dichte von X
> f jedoch nicht das is mir nich so ganz klar.
Angenommen, man moechte die Form der Dichte $f_$ einer bestimmten
Verteilung in einem Intervall $[a,b]$ "kopieren". Dann sollte der Verlauf
der neuen Dichte $g$ also wie $f_$ aussehen, aber $g_$ soll auch Dichte
sein. Schreiben wir [mm] $g=:\alpha [/mm] f$, dann ist
[mm] $1=\alpha\int_a^b f(t)\,dt \iff\alpha= 1/\int_a^b f(t)\,dt=1/(F(b)-F(a))$,
[/mm]
worin $F_$ die zu $f_$ gehoerige Verteilungsfunktion ist.
> Und müsste der Erwartungswert dann nicht lauten
>
> [mm]\operatorname{E}[X]=\frac{\alpha}{1-\exp[-4\alpha]}\int_0^4\red{x} *\exp[-\alpha x]\,dx[/mm] ??
>
Du hast voellig Recht.
vg Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:38 Do 18.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar vielen Dank. Ich denk das hab ich jetzt kapiert.
Ich hab da noch ne kleine Randaufgabe dazu entdeckt, die ganz nett ist.
Weiß aber nicht wie man des beantworten soll.
Bonusaufgabe: Beim Grillfest sind mehrere Nichtmathematiker anwesend. Wie könnte man die Ergebnisse der obigen Aufgabe und den Zusammenhang zur Frage beschreiben, damit auch diese verstehen, was Sie gerechnet haben?
Ich würd denen wahrscheinlich zunächst erklären was man unter Erwartungswert und Varianz versteht und dann versuchen irgendwie anhand der Grillzeit das zu veranschaulichen. Oder wie kann man das einem Laien am besten beibringen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 20.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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