Erwartungswert berechnen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Gruppe von n Jägern schießt auf m Enten, wobei sich
jeder Jäger sein Opfer zufällig und unabhängig von den anderen Jägern
auswählt. Jeder Jäger tötet seine ausgewählte Ente mit Sicherheit. Wieviele Enten werden im Mittel bei einem solchen Szenario überleben?
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Hallo!
Bei der Aufgabe habe ich große Probleme, da mein erhaltenes Ergebnis wahrscheinlich zu kompliziert ist, um richtig zu sein :-(
X = Anzahl der überlebenden Enten
Also, ich soll ja den Erwartungswert von X berechnen. Es ist dann ja:
$E(X) = [mm] \summe_{k=0}^{m-1}k*\IP(X=k)$
[/mm]
(Es können nicht m Enten überleben)
Ich habe mich nun erstmal mit der Wahrscheinlichkeit beschäftigt, dass genau k Enten sterben. Dazu dachte ich mir, die Jäger wählen ihre Enten aus, diese Auswahl erfolgt mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, also wäre die Anzahl der Möglichkeiten, wie die n Jäger ihre m Enten auswählen können:
[mm] \vektor{n+m-1\\n}
[/mm]
Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Enten sterben:
[mm] \IP'(X=k) [/mm] = [mm] \frac{\vektor{n+k-1\\n}}{\vektor{n+m-1\\n}}.
[/mm]
Es überleben genau (m-k) Enten, wenn k Enten sterben, also:
$E(X) = [mm] \summe_{k=1}^{m}(m-k)*\IP'(X=k) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{m}(m-k)*\frac{\vektor{n+k-1\\n}}{\vektor{n+m-1\\n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\vektor{n+m-1\\n}}*\summe_{k=1}^{m}(m-k)*\vektor{n+k-1\\n}$
[/mm]
Nun meine Fragen:
- Stimmen meine Überlegungen?
- Wie kann ich die Summe vereinfachen? Maple gibt mir ein hübsch kleines Ergebnis aus...
Grüße und danke für Eure Hilfe,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Sa 14.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Stefan,
vielleicht hift das hier weiter.
vg Luis
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Hallo Luis,
> vielleicht hift das hier
> weiter.
danke für deine Antwort. Ich glaube aber, dass das zu kompliziert ist, ich bin erstes Semester!
Stirling-Zahlen haben wir nicht gehabt... Ich kann im Moment auch nicht den Fehler in meinen Überlegungen entdecken... Wo ist er?
Danke für erneute Hilfe,
Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 16.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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