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Forum "Statistik (Anwendungen)" - Erwartungswert berechnen
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Erwartungswert berechnen: Tipp oder Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 Di 09.02.2010
Autor: james_kochkessel

Aufgabe
[mm] F(X)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{<1 } \\ {0,6} & \mbox{für } \mbox{ 1 <= x < 3} \\ {0,8} & \mbox{für } \mbox{ 3 <= x < 5} \\ 1, & \mbox{für } \mbox{ 5 <= x} \end{cases} [/mm]

Hi, bei einer Aufgabe soll man da den Erwartungswert berechnen, aber ich komm einfach nicht drauf, wie man den hier berechnet.

Falls jemand eine Idee hat, wäre ich ihm sehr dankbar.

Lg kochkessel

        
Bezug
Erwartungswert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Di 09.02.2010
Autor: abakus


> [mm]F(X)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{<1 } \\ {0,6} & \mbox{für } \mbox{ 1 <= x < 3} \\ {0,8} & \mbox{für } \mbox{ 3 <= x < 5} \\ 1, & \mbox{für } \mbox{ 5 <= x} \end{cases}[/mm]
>  
> Hi, bei einer Aufgabe soll man da den Erwartungswert
> berechnen, aber ich komm einfach nicht drauf, wie man den
> hier berechnet.
>  
> Falls jemand eine Idee hat, wäre ich ihm sehr dankbar.
>  
> Lg kochkessel

Hallo,
durch genaues Hinschauen sieht man, dass es sich um eine diskrete ZG handelt, die den Wert 1 mit p=0,6, den Wert 3 mit p=0,2 und den Wert 5 ebenfalls mit p=0,2 annimmt.
Gruß Abakus


Bezug
                
Bezug
Erwartungswert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:25 Di 09.02.2010
Autor: james_kochkessel

Ah vielen dank, dann ist E(X)=2,2

Bezug
        
Bezug
Erwartungswert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:29 Di 09.02.2010
Autor: gfm

Allgemein gilt:

[mm] E(X)=\integral_\Omega X(\omega)dP(\omega) [/mm]

durch die Subsitution [mm] \omega=X^{-1}(x) [/mm] gelangt man zur Integration im Zustandraum von X:

[mm] E(X)=\integral_{X(\Omega)}xdF_X(x) [/mm]

[mm] F_X [/mm] ist die Verteilungsfunktion von X und definiert als

[mm] F_X(x)=P({X\le x}), [/mm] welches ein W-Maß im Zustandsraum von X definiert.

W-Maße sind endlich, daher auch [mm] \sigma [/mm] - endlich. Somit exisitert eine Zerlegung von [mm] F_X [/mm] in einen fast überall differenzierbaren Anteil, der mit einer Dichte [mm] f_X [/mm]  bezüglich des normalen "dx" und eines diskreten Anteils geschrieben werden kann:

[mm] dF_X(x) [/mm] = [mm] f_X(x)dx [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\Delta_i 1_{x_i}(dx) [/mm]

[mm] \Delta_i 1_{x_i}(dx) [/mm] ist dabei das mit [mm] \Delta_i [/mm] multiplizierte Dirac-Maß. [mm] \Delta_i [/mm] ist der Sprung den [mm] F_X [/mm] an der Stelle [mm] x_i [/mm] macht. Wenn bei der Integration das "dx über [mm] x_i [/mm] hinwegläuft" entsteht einfach der Anteil [mm] g(x_i)\Delta_i [/mm] wenn man eine Funktion g integriert.

Das kann man auch noch hübscher schreiben mit einen differenzierbaren monotonen Anteil für [mm] F_X [/mm] und einem Treppenfunktionsanteil, der besagte Sprünge an den [mm] x_i [/mm] macht.

Dein [mm] F_X [/mm] ist so eine Treppenfunktion. Somit wird aus dem Integral für den Erwartungswert die Summe über die Produkte aus [mm] x_i [/mm] und den Sprüngen.

LG

gfm

Bezug
        
Bezug
Erwartungswert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Do 13.05.2010
Autor: PythagorasSie

Hallo,
hab hier auch noch eine Frage dazu,
wie komm ich denn auf die Werte für p von 3 und 5 ?
Hab nämlich ein ähnliches Beispiel zu rechnen und weiß nicht so richtig, wie ich das aus der Angabe herauslesen kann.
Lg, danke,
PythagorasSie

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Do 13.05.2010
Autor: abakus


> Hallo,
> hab hier auch noch eine Frage dazu,
> wie komm ich denn auf die Werte für p von 3 und 5 ?
> Hab nämlich ein ähnliches Beispiel zu rechnen und weiß
> nicht so richtig, wie ich das aus der Angabe herauslesen
> kann.
>  Lg, danke,
> PythagorasSie

Hallo,
dann mache es mal umgedreht. Eine Zufallsgröße X nehme nur die 3 Werte 3, 7 und 10 an, und zwar mit den Wahrscheinlichkeiten 0,1; 0,7 bzw. 0,2.
Fühlst du dich in der Lage, hiervon die Funktion F(x) aufzustellen?
Gruß Abakus


Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:20 Do 13.05.2010
Autor: PythagorasSie

Nein, nicht wirklich .

Nehme ich immer die Differenz für p(x) zwischen zwei Werten?
Sprich, von p(x)=0 auf p(x)= [mm] \bruch{ 1 }{ 10 } [/mm]  
und von  [mm] \bruch{ 1 }{ 10 } [/mm]   auf    [mm] \bruch{ 7 }{10 } [/mm] ?


Bezug
                                
Bezug
Erwartungswert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:22 Fr 14.05.2010
Autor: Blech

Hi,

[mm] $F(x)=P(X\leq [/mm] x)$

was ist dann F(2), F(3), F(4) und F(7)?

ciao
Stefan

Bezug
                                        
Bezug
Erwartungswert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Fr 14.05.2010
Autor: PythagorasSie

Ich sitz da leider grad wirklich voll auf der leitung. Die Formel F(x)=P(X [mm] \le [/mm] x) versteh ich schon, nur weiß ich nicht wie ich auf die Zahlenwerte von p(x) komme.

Mein Beispiel geht ca. so:

Bestimmen Sie die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion px(n) für alle n [mm] \varepsilon \IN [/mm]

F(x)=  .... 0 für x<6
          ....  [mm] \bruch{ 1 }{ 2 } [/mm] für 6 [mm] \le [/mm] x < 7
          .... 1 für x [mm] \ge [/mm] 7

und meine Lösung wäre jetz gewesen, dass ich einfach schreibe, p= [mm] \bruch{ 1 }{ 2 } [/mm] für n=6 und p= [mm] \bruch{ 1 }{ 2 } [/mm] für n=7,
weil 1-  [mm] \bruch{ 1 }{ 2 } [/mm] =  [mm] \bruch{ 1 }{ 2 } [/mm]
stimmt das oder wie berechne ich p(x)?

danke, lg, PythagorasSie

Bezug
                                                
Bezug
Erwartungswert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Fr 14.05.2010
Autor: Cybrina

Hallo,

du solltest dir mal klarmachen, was P und F eigentlich sind. P(x) gibt die Wahrscheinlichkeit für den Wert x an. F(x) dagegen gibt sozusagen die summierte Wkt. bis zum Wert x an, also wie hoch die Wkt. ist, dass höchstens x herauskommt.
Wenn jetzt F(x)=0 für x<6 heißt das für alle Werte <6 ist die Wkt. 0, d.h. für [mm] x\in\IN [/mm] ist p(0)=0, p(1)=0, ... p(5)=0.
Wenn [mm] F(x)=\bruch{1}{2} [/mm] für [mm] 6\leqslant [/mm] x<7, dann bedeutet das, dass [mm] p(0)+p(1)+...+p(6)=\bruch{1}{2} [/mm] und da ja alles bis p(5) 0 ist also [mm] p(6)=\bruch{1}{2} [/mm]
Deine Aufgabe ist übrigens P für alle nat. Zahlen anzugeben, nicht nur für 6 und 7.

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