Erwartungswert von X^2 < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Sa 15.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei X eine diskrete, poissonverteilte Zufallsvariable mit Parameter [mm] \lambda.
[/mm]
Dann gilt: [mm] E[X]=\sum_{k\in{X[\Omega]}} k\cdot{P[X=k]}=\sum_{k\in{\IN_0}} k\cdot{e^{-\lambda}\cdot{\bruch{\lambda^k}{k!}}}=\lambda
[/mm]
Warum ist dann [mm] E[X^2]=\sum_{k\in{X^2[\Omega]}} k\cdot{P[X^2=k]}=\sum_{k\in{\IN_0}} k^2\cdot{e^{-\lambda}\cdot{\bruch{\lambda^k}{k!}}}=\lambda^2+\lambda
[/mm]
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Hallo Leute,
also mir leuchtet das zweite Gleichheitszeichen nicht so ganz ein, genauer gesagt weiß ich nicht wie ich darauf komme, dass [mm] P[X^2=k]=P[X=k]=e^{-\lambda}\cdot{\bruch{\lambda^k}{k!}} [/mm] und warum ich k durch [mm] k^2 [/mm] ersetzen darf.
Wär echt klasse, wenn mir das jemand erklären könnte.
Vielen Dank schon mal!!
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Hallo!
> Sei X eine diskrete, poissonverteilte Zufallsvariable mit
> Parameter [mm]\lambda.[/mm]
> Dann gilt: [mm]E[X]=\sum_{k\in{X[\Omega]}} k\cdot{P[X=k]}=\sum_{k\in{\IN_0}} k\cdot{e^{-\lambda}\cdot{\bruch{\lambda^k}{k!}}}=\lambda[/mm]
>
> Warum ist dann [mm]E[X^2]=\sum_{k\in{X^2[\Omega]}} k\cdot{P[X^2=k]}=\sum_{k\in{\IN_0}} k^2\cdot{e^{-\lambda}\cdot{\bruch{\lambda^k}{k!}}}=\lambda^2+\lambda[/mm]
>
> Hallo Leute,
> also mir leuchtet das zweite Gleichheitszeichen nicht so
> ganz ein, genauer gesagt weiß ich nicht wie ich darauf
> komme, dass
> [mm]P[X^2=k]=P[X=k]=e^{-\lambda}\cdot{\bruch{\lambda^k}{k!}}[/mm]
Eigentlich ist das ein Zwischenschritt, den man nie aufschreibt, weil man die Transformationsformel für Erwartungswerte benutzt:
$E(g(X)) = [mm] \sum_{k\in X[\Omega]}g(k)*P[X [/mm] = k]$
Folgendes ist aber die Überlegung:
[mm] $\sum_{k\in{X^2[\Omega]}} k\cdot{P[X^2=k]}$
[/mm]
k ist ja grundsätzlich wieder in [mm] \IN_{0}. [/mm] (Wenn X nur ganzzahlige Werte größergleich Null annehmen konnte, dann nimmt auch [mm] X^{2} [/mm] nur ganzzahlige Werte größergleich Null an).
Tritt nun [mm] $X^{2} [/mm] = k ein$, dann ist dies äquivalent zu $X = [mm] \sqrt{k}$. [/mm] (Da beide Seiten positiv). Es ist also:
[mm] $P[X^{2} [/mm] = k] = P[X = [mm] \sqrt{k}]$
[/mm]
Nun wissen wir aber: X nimmt nur ganzzahlige Werte größergleich Null an. Deswegen ist die Wahrscheinlichkeit nur nicht Null, wenn $k = [mm] m^{2}$ [/mm] mit [mm] m\in\IN_{0}, [/mm] also k eine Quadratzahl ist.
Damit schrumpelt unsere Summe oben zusammen:
[mm] $\sum_{k\in{X^2[\Omega]}} k\cdot{P[X^2=k]} [/mm] = [mm] \sum_{k = m^{2}\in X^{2}[\Omega]}k\cdot{P[X^2=k]} [/mm] = [mm] \sum_{m^{2}\in X^{2}[\Omega]}m^{2}*P[X^{2}=m^{2}] [/mm] = [mm] \sum_{m\in X[\Omega]}m^{2}*P[X=m]$
[/mm]
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Ein Tipp für die Berechnung der Summe: Schreibe [mm] $k^{2} [/mm] = k*(k-1) + k$, und berechne die beiden entstehenden Summen separat mit Indexverschiebung.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Sa 15.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay, alles klar. Dann hätt ich das also auch verstanden :). Vielen Dank!!
Die anschließende Berechnung hab ich bereits hingekriegt, aber auch hier nochmals herzlichen Dank für den Tipp!!
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