Erwartungswert vs Wahrsch. < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Sa 08.03.2014 | | Autor: | gladixy |
Hallo liebe Vorhilfe-Community,
ich hab ein kleines Verständnisproblem bezüglich Erwartungswert/Wahrscheinlichkeiten. Das Problem ergab sich im Zuge einer Partie Risiko, weshalb es auch keine formale Aufgabenstellung dafür gibt.
Angenommen ich habe drei normale Würfel (Augen: 1,2,3,4,5,6, alle Würfel identisch). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit innert drei Würfen mindestens eine 6 zu haben? Ich glaube das entspricht 1- [mm] (5/6)^3.
[/mm]
Jetzt hat aber ein Freund von mir gesagt, dass der Erwartungswert eine 6 zu Würfeln innert drei Würfen 0,5 ist. Das macht für mich eben auch irgendwo Sinn. Bei 6 Würfen wird dies am deutlichsten, da man hier ja im Schnitt immer eine 6 hat. Teilt man das durch 2 (hälfte der Würfe) erhält man 0,5.
Ich versteh jetzt überhaupt nicht (sollte das soweit richtig sein) wieso es hier quasi zwei verschiedene Angaben über die Anzahl an 6en innert drei Würfen gibt. Ist denn der Begriff Erwartungswert hier richtig angewandt?
Vielleicht kann ja jemand Licht ins Dunkel bringen ;)
Gruss
glad
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Sa 08.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo liebe Vorhilfe-Community,
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> ich hab ein kleines Verständnisproblem bezüglich
> Erwartungswert/Wahrscheinlichkeiten. Das Problem ergab sich
> im Zuge einer Partie Risiko, weshalb es auch keine formale
> Aufgabenstellung dafür gibt.
>
> Angenommen ich habe drei normale Würfel (Augen:
> 1,2,3,4,5,6, alle Würfel identisch). Wie hoch ist die
> Wahrscheinlichkeit innert drei Würfen mindestens eine 6 zu
> haben? Ich glaube das entspricht 1- [mm](5/6)^3.[/mm]
>
> Jetzt hat aber ein Freund von mir gesagt, dass der
> Erwartungswert eine 6 zu Würfeln innert drei Würfen 0,5
> ist. Das macht für mich eben auch irgendwo Sinn. Bei 6
> Würfen wird dies am deutlichsten, da man hier ja im
> Schnitt immer eine 6 hat. Teilt man das durch 2 (hälfte
> der Würfe) erhält man 0,5.
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> Ich versteh jetzt überhaupt nicht (sollte das soweit
> richtig sein) wieso es hier quasi zwei verschiedene Angaben
> über die Anzahl an 6en innert drei Würfen gibt. Ist denn
> der Begriff Erwartungswert hier richtig angewandt?
Tatsaechlich sind hier zwei Sachen durcheinander gebracht worden. Die Wahrscheinlichkeit fuer mind. eine $6$ bei $3$ Wuerfen hast Du richtig ermittelt.
Der Erwartungswert einer Zufallsgroesse, welche hier die Anzahl der geworfenen $6$ ist, ist aber keine Wahrscheinlichkeit, sondern eben eine Art Durchschnittswert fuer die Zufallsgroesse. Bei Dir also der Anzahl der $6$en: bei $3$ Wuerfen fallen im Durchschnitt $0.5$ Sechsen, bei sechs Wuerfen faellt durchschnittlich eine Sechs.
Das bedeutet aber nicht, dass bei sechs Wuerfen eine $6$ mit $100$ prozentiger Wahrscheinlichkeit faellt! Die W-keit, dass keine $6$ faellt ist immerhin noch [mm] $(\frac{5}{6})^{6}= [/mm] 33.5$ Prozent.
In Deinem Zusammenhang ist der Erwartungswert vielleicht die weniger aussagekraeftige Groesse.
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> Vielleicht kann ja jemand Licht ins Dunkel bringen ;)
>
> Gruss
>
> glad
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Sa 08.03.2014 | | Autor: | gladixy |
Okay alles klar. Kann es ausserdem sein, dass noch etwas anderes durcheinander ist? Das eine ist ja die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu haben. Beim Erwartungswert hingegen macht man nur eine Aussage darüber genau eine 6 zu haben oder?
Gruss
glad
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Sa 08.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Okay alles klar. Kann es ausserdem sein, dass noch etwas
> anderes durcheinander ist? Das eine ist ja die
> Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu haben.
Genau das ist es, und ob bei dreimaligem Werfen eine oder zwei Sechsen geworfen werden spielt überhaupt keine Rolle.
> Beim
> Erwartungswert hingegen macht man nur eine Aussage darüber
> genau eine 6 zu haben oder?
>
Die W., genau eine Sechs zu erzielen, beträgt 25/72.
Der von dir berechnete Erwartungswert E(X)=0,5 bezieht sich auf die Zufallsvariable X, die die Anzahl der Sechsen bei drei Würfen zählt.
Und dabei schlagen solche Serien aus drei Würfen, bei denen zwei oder drei Sechsen erzielt werden, entsprechend kräftig zu Buche.
Gruß Sax.
> glad
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